Timothy Gowers nos cuenta cómo encontrar un inusual prueba de que las funciones continuas en el intervalo cerrado $[0,1]$ están acotadas.
Nos ofrece un breve resumen de las pruebas habituales:
"Una prueba comienza con el teorema de Heine-Borel: se escriba como se escriba $[0,1]$ como la unión de una colección de conjuntos abiertos, también se puede escribir como la unión de una subcolección finita. Para deducir la afirmación, para cada $x$ deje $U_x$ sea el conjunto de todos los $y$ tal que $|f(y)-f(x)| < 1$ . Los conjuntos $U_x$ están abiertos y su unión es obviamente toda $[0,1]$ . Por el teorema de Heine-Borel existen $x_1,...,x_n$ tal que la unión de los conjuntos $U_{x_i}$ es todo [0,1]. Pero entonces f está limitada por encima por 1+max f(xi).
Otra prueba parte del teorema de Bolzano-Weierstrass: toda sucesión en [0,1] tiene una subsecuencia convergente. Entonces, si el teorema es falso, podemos encontrar una sucesión infinita (xn) tal que f(xn) > n para todo n. Escogemos una sucesión convergente a x, y comprobamos que $f$ no puede ser continua en $x$ ."
Luego dice que hay pruebas existentes de esto que son "inusuales" para, por ejemplo, cuando se demuestra sin saber nada acerca de la compacidad.
¿Alguien más conoce alguna otra forma de probar lo anterior que se considere "inusual" y no sea la prueba normal?
