Teorema sobre la caracterización de los estimadores MRE

Question

Tengo algunos problemas para entender la segunda igualdad en la prueba del teorema 6;

Utilizando el lema podemos simplemente introducir $\delta_{0}-v$ y minimizarlo con respecto a $v$ pero ¿cómo es que tenemos $\delta_{0}$ ¿Afuera?

Answer 1

Para entender esta prueba, piensa detenidamente en la diferencia entre min y argmin. Si la prueba consistiera en minimizar utilizando min, entonces no habría $\delta_0$ fuera (o un signo menos).

Argmin funciona de forma algo diferente. La primera igualdad de la prueba establece que $\hat\delta=\delta'$ (donde $\delta'\in\Delta$ y $E_0 (L(0,\delta'(X)))=\min_{\delta\in\Delta} E_0 (L(0,\delta (X)))$ . (Esto se deduce de la definición de argmin.) Porque $\delta'\in\Delta$ podemos escribirlo como $\delta'=\delta_0 -v'$ donde $v'$ es la función asociada al minimizador $\delta'$ . Podemos escribir $v'=\arg\min_{v} E_0 (L(0,\delta (X)))$ donde escribimos $\delta$ como $\delta_0 -v$ y recuerde que minimizar el exceso de $\delta$ es equivalente a minimizar sobre $v$ y luego escribir $\delta=\delta_0 -v$ . Por eso la segunda igualdad de la prueba es cierta.