Una lista de polinomios

Question

Sea $P_a(k_1,\ldots,k_n)$ , $a=1,\ldots,n$ sea una lista de polinomios en variables reales $k_1,\ldots,k_n$ tal que

$$ \sum_{a=1}^n k_a P_a(k_1,\ldots,k_n) = 0 $$

¿Es cierto que existe una lista de polinomios $P_{ab}(k_1,\ldots,k_n)$ , $a,b=1,\ldots,n$ tal que $P_{ab}+P_{ba}=0$ y

$$ P_a(k_1,\ldots,k_n) = \sum_{b=1}^n k_b P_{ab}(k_1,\ldots,k_n) . $$

Answer 1

Sí, y puedes demostrarlo concretamente por inducción del número total de monomios. Si algunos $P_a$ tiene un monomio $c\mathbf k^{\mathbf p}=ck_1^{p_1}\dots k_n^{p_n}$ con coeficiente distinto de cero, entonces por la primera condición algún otro $P_b$ tiene un monomio con coeficiente distinto de cero, $c'k_ak_b^{-1}k^{\mathbf p}$ (necesariamente con $p_b>0$ ). Restar $c\mathbf k^{\mathbf p}$ de $P_a$ y añada $ck_ak_b^{-1}k^{\mathbf p}$ a $P_b.$ Así se obtiene una lista modificada $P'_*$ con al menos un monomio menos. Aplicando la inducción se obtiene $P'_{**}$ para la lista modificada $P'_*.$ Tenga en cuenta la modificación añadiendo $ck_b^{-1}k^{\mathbf p}$ a $P_{ab}$ y $-ck_b^{-1}k^{\mathbf p}$ a $P_{ba}.$

Esto puede interpretarse como la desaparición del primer grupo homológico del complejo de Koszul asociado al anillo polinómico $\mathbb R[k_1,\dots,k_n].$