¿Podemos definir un tensor métrico específico para todas las variedades?

Question

En primer lugar, mi pregunta tal vez no tiene sentido en absoluto, y eso es porque yo no entiendo realmente estas cosas, si no tiene sentido por favor me explique por qué.

Cuando digo un tensor métrico me refiero a la primera forma fundamental que todo estudiante aprende en un curso de geometría diferencial. Es decir, el producto interior estándar $\|w\|=\langle w,w\rangle $ de un elemento del espacio tangente $T_pS$ de una superficie normal $S$ . ¿Podemos utilizar esto para cada n-manifold para calcular la longitud, ángulos, superficie, etc?

¿cuál es el punto de considerar todos estos otros tensores que utilizamos en la geometría de Riemann ya que una variedad es localmente euclidiana no podemos simplemente utilizar el producto interior estándar para hacer todas estas cosas?

Answer 1

(1) Cuando la mayoría de la gente dice "un $n$ -manifold $M^n$ lo que suelen significar es un (resumen) liso $n$ -manifold (que es prácticamente lo mismo que un (abstracto) diferenciable $n$ -manifold ). No tengo tiempo de repasar la definición aquí, pero hay muchos libros fantásticos sobre variedades abstractas (por ejemplo, John Lee's Introducción a los colectores lisos ), así como una página de Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_manifold

La cuestión es que un resumen $n$ -manifold $M^n$ no es necesariamente un subconjunto del espacio euclidiano $\mathbb{R}^N$ . Sin embargo, si se da el caso de que su resumen $n$ -vive en un espacio euclidiano, digamos $M^n \subset \mathbb{R}^N$ entonces decimos que $M^n$ es un submanifold liso de $\mathbb{R}^N$ . Si ha realizado un curso de geometría diferencial de superficies en $\mathbb{R}^3$ entonces has estudiado el suave $2$ -de los submanifolds de $\mathbb{R}^3$ .

(2) Dada una submanifold lisa $M^n \subset \mathbb{R}^N$ entonces sí, es posible utilizar el producto interior estándar $\Vert v \Vert = \sqrt{\langle v,v \rangle}$ en $\mathbb{R}^N$ para dar a cada espacio tangente $T_pM \subset \mathbb{R}^N$ un producto interno positivo-definido que varía suavemente con $p \in M$ : \begin{equation} g_p(v,w) := \langle v,w \rangle. \tag{1} \end{equation}

(3) En general, sin embargo, una variedad abstracta $M^n$ no se encuentra necesariamente en un espacio euclidiano $\mathbb{R}^N$ . No obstante, sería interesante poder dar a cada espacio tangente $T_pM$ un producto interno positivo-definido suavemente variable $g_p$ . Una elección de producto interno positivo-definido suavemente variable en cada $T_pM$ se denomina Métrica riemanniana (o tensor métrico ou Estructura riemanniana ). El par $(M,g)$ se denomina entonces Colector riemanniano .

Es un hecho (mencionado en la respuesta de Moe) que cada abstracto $n$ -se le pueden dar (¡incontables!) métricas riemannianas $g$ . Por lo tanto, toda variedad abstracta $M$ puede convertirse en una variedad riemanniana $(M,g)$ de innumerables maneras. Si sucede que $M^n \subset \mathbb{R}^N$ entonces hay una elección natural de la métrica riemanniana $g$ procedente de la ecuación (1), pero en principio se podría dar $M^n$ otras métricas riemannianas (también conocidas como tensores métricos).

Answer 2

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ Aunque estás preguntando por los colectores en general, basta con entender esto cuando el colector es sólo un conjunto abierto $M \subset \mathbb{R}^n$ . El hecho de que sea un subconjunto de $\R^n$ significa que ya existe un conjunto de funciones de coordenadas $x^k: M \rightarrow \R$ . Sin embargo, puede haber otras funciones de coordenadas $y^k: M \rightarrow \R$ . Por ejemplo, si $M = (0,1) \times (0,2\pi)$ las coordenadas estándar serían $x^1(a,b) = a$ y $x^2(a,b) = b$ . Otro conjunto de coordenadas sería $y^1(a,b) = a\cos b$ y $y^2 = a\sin b$ .

Cuando se estudia geometría o física, las coordenadas son un mal necesario porque necesitamos poder medir y comparar cosas. Sin embargo, las propiedades geométricas y las leyes físicas no deberían depender de las coordenadas utilizadas. Por ejemplo, las leyes físicas no deberían depender de si medimos longitudes en metros o en pies.

El primer paso para definir una métrica riemanniana es entender qué es un espacio tangente. La idea clave aquí es que cada punto $p \in M$ tiene su propio espacio tangente $T_pM$ . Consiste en todos los posibles vectores de velocidad de las curvas. Si fijamos un conjunto de coordenadas, entonces $T_pM$ es obviamente isomorfo a $\R^n$ . Si cambiamos a otro conjunto de coordenadas, entonces $T_pM$ sigue siendo isomorfo a $\R^n$ pero el isomorfismo es diferente del primero. La observación crucial es que el mapa $\R^n \rightarrow T_pM \rightarrow \R^n$ definida utilizando los dos conjuntos diferentes de coordenadas es lineal . Esto nos permite ver $T_pM$ como un espacio vectorial abstracto, donde un conjunto de coordenadas define un isomorfismo $T_pM \rightarrow \R^n$ . Dicho de otro modo, un conjunto de coordenadas implica una base de $T_pM$ comúnmente denominado $(\partial_1, \dots, \partial_n)$ .

Recordemos ahora que un producto punto o producto interior sobre un espacio vectorial abstracto $V$ es una función bilineal $g: V \times V \rightarrow \R$ tal que $g(v,v) \ge 0$ con igualdad sólo si $v = 0$ . Una métrica riemanniana es simplemente un producto interior definido en cada $T_pM$ . Es importante señalar que no estamos asumiendo ninguna relación entre los productos internos en dos espacios tangentes diferentes $T_pM$ y $T_qM$ .

A continuación, recordemos que, dada una base $(v_1, \dots, v_n)$ de $V$ un producto interior $g$ está determinada unívocamente por la matriz simétrica definida positiva $[g_{ij}]$ donde $$ g_{ij} = g(v_i,v_u).$$

Así que si elegimos un conjunto de coordenadas, $(x^1, \dots, x^n)$ en $M$ entonces, en cada punto, tenemos una base $(\partial_1, \dots, \partial_n)$ de $T_pM$ lo que nos permite escribir la métrica de Riemann en $p$ como la matriz $[g_{ij}(p)]$ donde $$ g_{ij}(p) = g(p)(\partial_i, \partial_j) $$ Éste es el siguiente punto importante: Esta matriz es una matriz de funciones que dependen del punto en el colector. Además, la matriz depende de las coordenadas que hayas utilizado. Lo importante es que la matriz cambia de la manera correcta, de modo que, independientemente de las coordenadas que utilice, la matriz, utilizado con la base de $T_pM$ definido por las coordenadas, define el mismo producto interior abstracto sobre $T_pM$ .

Para profundizar en este tema, le animo a que estudie ejemplos fundamentales como la esfera estándar, el espacio hiperbólico, las superficies de revolución en $\R^3$ y gráficos de funciones en $\R^n$ .

Answer 3

Toda múltiple diferenciable admite una estructura riemanniana. Esto es bastante intuitivo: Toda múltiple diferenciable es localmente riemanniana, por lo que al unir todas las métricas locales a una métrica global obtenemos la conclusión que buscamos.