Nota: Los siguientes toca sólo algunos aspectos, lejos de ser representante para la conexión de todo el complejo de análisis con la teoría de los números.
Nota General: a la hora de pedir las conexiones de complejo análisis con la teoría de los números debe profundizar en la teoría analítica de números. Esta rama de la teoría de números es dividida en aditivo de la teoría de números y multiplicativa de la teoría de números.
A partir de T. Apostols sección introductoria de su clásico Modular Funciones y de Dirichlet de la Serie en la Teoría de los números:
Aditivo número teoría se refiere con la expresión de un número entero $n$ como suma de números enteros de algunas conjunto dado $S$. ...
Deje $f(n)$ denotar el número de maneras en $n$ puede ser escrita como una suma de elementos de $S$. Pedimos varias propiedades de $f(n)$, tales como su comportamiento asintótico para un gran $n$. En un capítulo posterior se determinará el valor asintótico de la función de partición $p(n)$ que cuenta el número de maneras en $n$ puede ser escrito como suma de enteros positivos $\leq n$.
La función de partición $p(n)$, y otras funciones de los aditivos de la teoría de números son intimitely relacionados con una clase de funciones en análisis complejo llamado elípticas modulares funciones. Juegan un papel en la aditivo número teoría análoga a la que juega de Dirichlet de la serie en multiplicativo de la teoría de números. ...
Vemos en su introducción que el análisis complejo juega un papel clave y también que el estudio asintótico de la función es esencial para llegar a la comprensión.
Con el fin de obtener información sobre el comportamiento de secuencias numéricas $a_n$ grandes $n$, el estudio de las correspondientes funciones de generación $F(z)$
\begin{align*}
F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n
\end{align*}
como función de una variable compleja $z$. Crucial para el comportamiento asintótico es el comportamiento de la función cerca de sus singularidades.
Comportamiento asintótico: P. Flajolet y R. Sedgewick explicar en la Analítica de la Combinatoria esto de la siguiente manera
Relativamente poco, en beneficio de los resultados de la asignación de sólo los valores reales de la variable $z$ que las cifras en un univariante de generación de función. En contraste, la asignación de valores complejos resulta casual consecuencias. ...
Cuando lo hacemos así, una generación de función se convierte en una transformación geométrica del plano complejo. Esta transformación es muy regular cerca del origen se dice que es analítico (o holomorphic). En otras palabras, cerca de $0$, sólo a los efectos de una suave distorsión del plano complejo. Un poco más lejos del origen, algunas grietas comienzan a aparecer en la imagen. Estas grietas-el digno nombre es singularidades-corresponden a la desaparición de suavidad. Resulta que una función de las singularidades de proporcionar una riqueza de información sobre la función de los coeficientes, y especialmente de su asintótica de la tasa de crecimiento. Adoptando el punto de vista geométrico para la generación de funciones tiene una gran pay-off.
Centrándose en las singularidades, la analítica de la combinatoria de las huellas de los pasos de muchos respetable mayores áreas de las matemáticas. Por ejemplo, Euler reconoce que para la de Riemann zeta función de $\zeta(s)$ a convertirse en infinito (por lo tanto tienen una singularidad) a $1$ implica
la existencia de infinitos números primos; Riemann, Hadamard y de la Vall i-Poussin más tarde al descubierto profundas conexiones entre propiedades cuantitativas de los números primos y singularidades de $1/\zeta(s)$.
$$ $$
Aplicación de análisis complejo: volviendo al Apostol del libro podemos encontrar un famoso aplicación de la elíptica modular funciones, a saber Rademacher de la serie para la función de partición:
Capítulo 5:
... La irrestricta de la función de partición $p(n)$ cuenta el número de maneras en que un entero positivo $n$ puede ser expresado como suma de enteros positivos $\leq n$. El número de sumas es libre, la repetición es permitido, y el orden de los sumandos no es tomado en cuenta.
La partición founction es generado por Euler infinito del producto
\begin{align*}
F(x)=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^m}=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n,
\end{align*}
donde $p(0)=1$. El producto y la serie converge absolutamente y representar a la analítica de la función $F$ en la unidad de disco $|x|<1$.
...
La función de partición $p(n)$ satisface la relación asintótica
\begin{align*}
p(n)\sim\frac{e^{K\sqrt{n}}}{4n\sqrt{3}}\qquad \text{as } n\rightarrow \infty,
\end{align*}
donde $K=\pi(2/3)^{1/2}$. Esto fue descubierto por Hardy y Ramanujan en 1918 ...
Mediante la integración a lo largo de una ruta de acceso en el plano complejo y teniendo en cuenta lo que los llamados círculos de Ford para Farey de la serie (es posible que desee ver en estos interesantes objetos) Rademacher encontrado el siguiente se celebra la representación de $p(n)$ $n\geq 1$ convergente la serie:
Apostol (Teorema 5.10): Si $n\geq 1$ la partición de la función $p(n)$ está representado por el convergente la serie
\begin{align*}
p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^{\infty}A_k(n)\sqrt{k}\frac{d}{dn}
\left(\frac{\sinh\left\{\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right\}}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)
\end{align*}
donde
\begin{align*}
A_k(n)=\sum_{{0\leq h<k}\atop{(h,k)=1}}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i nh/k}
\end{align*}
y con $s(h,k)$ la Dedekind suma
\begin{align*}
s(h,k)=\sum_{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}\left(\frac{hr}{k}-\left[\frac{hr}{k}\right]-\frac{1}{2}\right)
\end{align*}
Aquí está una última indicación de cuán importante es el estudio de las singularidades en el plano complejo de una función.
Riemann Zeta Función:
H. M. Edwards describe en el primer capítulo de su clásico de Riemann de la Función Zeta de Riemann de la época de 8 páginas de papel En la serie de los números primos menos de una Magnitud dada.
De la sección 1.10 de La representación de los Productos de $\zeta(s)$:
Un tema recurrente en los Riemann, el trabajo es la caracterización global de la analítica función de sus singularidades. Ya que la función $\log\zeta(s)$ ha logarítmica singularidades en las raíces $\rho$ $\zeta(s)$ y no otras singularidades, tiene el mismo singularidades como la suma formal
\begin{align*}
\sum_{p}\log\left(1-\frac{s}{p}\right)\tag{1}.
\end{align*}
Por lo tanto, si esta suma converge y si la función se define, en cierto sentido, como bien se comportó cerca de $\infty$ $\log \zeta(s)$ es, entonces debe seguir que la suma (1) se diferencia de la $\log \zeta(s)$ a la mayoría de una constante aditiva; establecimiento $s=0$ da el valor de $\log \zeta(0)$ a esta constante, y por lo tanto exponenciación da
\begin{align*}
\zeta(s)=\zeta(0)\prod_s\left(1-\frac{s}{p}\right)\tag{2}
\end{align*}
como se desee. Esta es esencialmente la prueba de la fórmula del producto (2) que Riemann bocetos.
