¿Qué tienen que ver las torres Whitehead con la física?

Question

Primero permítanme decir algo que no entiendo del todo, ya que no sé suficiente física. Si digo algo mal, que alguien me lo diga, por favor:

Para la partícula giratoria, existe un modelo sigma, que es un tipo de teoría cuántica de campos, que describe cómo puede propagarse una partícula giratoria. Los datos de entrada para este modelo sigma son una variedad pseudo-riemanniana orientada $X$ equipado con un haz de líneas con conexión. Se puede demostrar que la condición para la "cancelación de la anomalía cuántica" es que el mapa clasificador $X \to BSO(n)$ correspondiente al haz tangente se eleva mediante el mapa $BSpin(n) \to BSO(n)$ . Tal elevación se denomina estructura de espín.

El modelo sigma para la cuerda giratoria comienza de forma similar, pero el papel del haz de líneas se sustituye por el de un haz-gerbo (es decir, un gerbo con banda U(1)). - Creo que lo que ocurre aquí es que un haz de líneas es el mismo dato que un principal $U(1)$ -bundle, y un bundle-gerbe es el mismo dato que un bundle principal para el $2$ -grupo $[U(1)\to 1]$ . En cualquier caso, para esta nueva teoría cuántica de campos, la condición para la "cancelación de anomalías cuánticas" es que el mapa clasificador $X \to BSO(n)$ tiene un ascensor a través de $BString(n) \to BSpin(n) \to BSO(n)$ . De hecho, $String(n)$ no existe como grupo de Lie, pero sí como objeto de grupo (débil) en apilamientos diferenciables, que son en particular tramas (sobre la categoría de los múltiples) en homotopía 1-tipos.

Aparentemente, esto se puede llevar aún más lejos, y se puede hablar de un modelo sigma para el llamado $5$ -y la condición "cancelación de la anomalía cuántica" es que el mapa clasificador $X \to BSO(n)$ tiene un ascensor a través de $BFiveBrane(n) \to BString(n) \to BSpin(n) \to BSO(n)$ et $Fivebrane(n)$ existe al menos como objeto de grupo en láminas (sobre la categoría de los múltiples) en homotopía $5$ -tipos. (¿Se trata de un modelo sigma con un haz-gerbo sustituido por un haz principal para $U(1)$ ascendido a $3$ -(¿grupo?)

Nota: En realidad deberíamos empezar por $O(n)$ ya que una elevación de $X \to BO(n)$ a través de $BSO(n) \to BO(n)$ es lo mismo que equipar $X$ con una orientación.

En fin, mi pregunta es, ¿qué es exactamente la "cancelación de anomalías cuánticas" (quizás en términos profanos) y qué tiene que ver con la torre de Whitehead de $O(n)$ ?

Además, ¿hay más después de $5$ -¿branas?

Answer 1

Hola Dave,

Acabo de ver esta pregunta. Quizá pueda reaccionar de todos modos.

Las anomalías de las que hablamos aquí significan lo siguiente: el funcional de acción de una QFT dada puede resultar no ser exactamente una función sobre el espacio de configuración, sino en su lugar una sección de algún haz de líneas con conexión sobre el espacio de configuración. Por tanto, para que la teoría tenga sentido, ese haz de líneas con conexión debe trivializarse y, por tanto, en primer lugar debe ser trivializable. La clase de Chern de ese haz lineal es la clase anomalía mundial La obstrucción a la existencia de una trivialización del haz subyacente. Su curvatura es la anomalía local una medida de la obstrucción para que se trivialice también como haz con conexión.

El hecho de que tales contribuciones anómalas al funcional de acción aparezcan para superbranas de tipo heterótico ("branas giratorias") se debe a que para éstas la integral de trayectoria fermiónica no es una función sobre las configuraciones bosónicas, sino que es una sección del haz de líneas pfaffiano del operador de Dirac dado.

Así que cancelación de anomalías es el proceso en el que identificamos aquellas restricciones en el contenido del campo que hacen que estos haces de líneas de anomalía se trivialicen. Esto, y las referencias estándar sobre ello, se revisa aquí:

http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+anomalía

Que la anomalía de la partícula giratoria desaparece si el espacio objetivo tiene estructura de Espín es clásico. Que la anomalía de la cuerda heterótica desaparece si el objetivo tiene estructura de Cuerda se debe a Killingback y Witten, originalmente, por un argumento que recientemente fue hecho riguroso por Bunke. Véanse las referencias en

http://ncatlab.org/nlab/show/differential+cadena+estructura

Que la cancelación de la anomalía de la super 5-brana está relacionada de forma similar con estructuras topológicas superiores, y la introducción de los términos "grupo de las 5-branas" y "estructura de las 5-branas" se debe originalmente a

Hisham Sati, Urs Schreiber, Jim Stasheff, Estructuras de cinco membranas Rev.Math.Phys.21:1197-1240 (2009) ( arXiv:0805.0564 )

Ese artículo también incluye una revisión de toda la historia de la cancelación de anomalías en su sección 3.

En el sucesor

Hisham Sati, Urs Schreiber, Jim Stasheff, Cuerdas diferenciales retorcidas y estructuras de cinco membranas Comunicaciones en Física Matemática (2012) ( arXiv:0910.4001 )

desarrollamos la geometría diferencial completa correspondiente. Varios artículos relacionados con desarrollos posteriores se enumeran aquí

http://ncatlab.org/nlab/show/Geometric+y+estructuras+topológicas+relacionadas+con+las+branas+M http://ncatlab.org/schreiber/show/differential+cohomología+en+un+topo+cohesivo#Subproyectos

Answer 2

La respuesta corta y sucia es que para definir la acción se necesita una sección global de un haz vectorial concreto. Sólo se obtiene una sección global si el grupo estructural (quizás de otro haz relacionado) se eleva a un grupo $G\langle n\rangle \to G$ en la torre Whitehead. El ejemplo de juguete es el del haz de orientación, que admite una sección global (es decir, una forma de orientación en la base) si el haz tangente (a partir del cual se construye el haz de orientación) tiene una reducción de su grupo estructural al grupo ortogonal especial. Del mismo modo, para el siguiente paso, sólo se puede definir la acción para un fermión si se tiene un operador de Dirac (es decir, una raíz cuadrada del Laplaciano), y esto existe (¡creo! Estoy un poco oxidado aquí) si la variedad base es espín. Con este ejemplo se puede ver que es como pasar a una superficie de Riemann del plano puntuado para definir la función $z \mapsto z^{\frac{1}{n}}$ es necesario deshacerse de la obstrucción topológica.

Answer 3

Por fin he conseguido el periódico en cuestión: Edward Witten Anomalías globales en la teoría de cuerdas donde se discuten los casos de la partícula y la cuerda.

El modelo en cuestión es un modelo mecánico cuántico supersimétrico (una teoría cuántica de campos de dimensión cero, si se quiere) conocido como modelo sigma supersimétrico no lineal. Para los entendidos, es el mismo cuyo índice de Witten es el índice del operador de Dirac. El modelo está definido en el círculo y el espacio objetivo es una variedad riemanniana $(M,g)$ . El modelo consta de campos bosónicos $\phi: S^1 \to M$ y campos fermiónicos $\psi$ que son secciones del pullback "oddificado" por $\phi$ del haz tangente de $M$ denotado $\Pi\phi^{-1}TM$ .

La cuantificación de la integral de trayectoria de este modelo requiere calcular la acción efectiva del fermión, que es la raíz cuadrada del operador de Dirac unidimensional retorcido por $\phi^{-1}TM$ . Este determinante define un haz de líneas en el espacio de bucles de $M$ y la pregunta es si este haz tiene raíz cuadrada. Lo que Witten encuentra es que la obstrucción a la existencia de la raíz cuadrada es la orientabilidad del espacio de bucles de $M$ o, lo que es lo mismo, la obstrucción a $M$ admitiendo una estructura de espín.

En ese artículo, Witten también analiza el caso de la cuerda, prestando especial atención al modelo sigma para la cuerda heterótica. Me temo que ahora mismo no podría resumir esa parte del artículo. Espero que alguien de MO pueda hacerlo.

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A grandes rasgos, las teorías cuánticas (y no sólo los modelos sigma) son vulnerables a las anomalías. Éstas aparecen bajo distintas formas. Una idea aproximada, que no siempre es correcta pero se repite a menudo, es que una anomalía es la violación cuántica de una simetría clásica. Este es ciertamente el caso de las anomalías quiral y conforme, pero no es el caso de la anomalía gauge. La anomalía gauge puede interpretarse como la no trivialidad de un determinado haz de líneas en el espacio de moduli de conexiones sobre un haz de fibras principal.

Las anomalías son de dos tipos: perturbativas y globales. Las anomalías perturbativas suelen venir dadas por la densidad de índices de algún operador elíptico relevante, mientras que las anomalías globales suelen estar asociadas a familias de operadores elípticos y pueden entenderse en términos de flujo espectral,...

Las anomalías a las que se refiere esta pregunta son anomalías globales para modelos sigma supersimétricos en dimensiones 1 (partícula), 2 (cuerda) y 6 (cincobrana).