Expansión de Taylor de la función de exponencial

Question

Demuestre que si $n$ es grande y $ne^{-t}\ll 1$ la expresión $(1-e^{-t})^n$ se reduce a $1-ne^{-t}$ .

Sé que la expansión de Taylor de $e^{-t}$ cuando $t$ es pequeño es $1-t$ pero no estoy seguro de cómo utilizarlo para resolver el problema. Además, ¿por qué la condición $ne^{-t}\ll 1$ ¿es necesario? Agradeceré cualquier sugerencia. Muchas gracias.

Answer 1

Por la expansión binomial,

$$(1-\epsilon)^n=1-n\epsilon+\frac{n(n-1)}2\epsilon^2-\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\epsilon^3\cdots \\=1-n\epsilon\left(1-\frac{n-1}2\epsilon+\frac{(n-1)(n-2)}{3!}\epsilon^2\cdots\right).$$

Entonces si $n\epsilon\ll 1$ ,

$$(1-\epsilon)^n\approx1-n\epsilon.$$

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Trabajar con $e^{-t}$ en lugar de $\epsilon$ es sólo "ruido".

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Nota adicional:

Si $n\epsilon\ll 1$ entonces

$$1-n\epsilon\approx 1$$ y la pregunta es un poco ilógica. Mejor preguntar sobre

$$(1-\epsilon)^n-1.$$

Answer 2

Utilice $$y^n=\sum_{i=0}^{n} {{n}\choose{i}} (y-1)^i.$$ Con $y=1-e^{-t}$ obtienes $$(1-e^{-t})^n = \sum_{i=0}^{n} {{n}\choose{i}} (-e^{-t})^i\approx 1-ne^{-t}.$$