Demostrar que para cualquier $x \in \mathbb{R}$ y para cualquier $\epsilon >0$ , $\exists v \in U$ con $|x-v| < \epsilon$ .

Question

Sea $$U = \{ \frac{m\pi}{n} | m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$$

Demostrar que para cualquier $x \in \mathbb{R}$ y para cualquier $\epsilon >0$ , $\exists v \in U$ con $|x-v| < \epsilon$ .

Sé que debo utilizar el teorema de la densidad, pero me cuesta aplicarlo.

¿Basta con dejar $v = \frac{m\pi}{n}$ y conectarlo a $0 < |x-v| < \epsilon$ y reordenar la desigualdad?

Answer 1

Desde $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ hay $m,n\in\Bbb Z$ tal que $\left|\frac x\pi-\frac mn\right|<\frac\varepsilon\pi$ . Y por lo tanto $\left|x-\frac{m\pi}n\right|<\varepsilon$ .