¿Está bien redactado este problema?

Question

Estoy trabajando en un problema de un antiguo examen preliminar de análisis complejo, pero mientras lo hago, no estoy seguro de si está redactado correctamente.

El problema: Que $f(z)$ sea una función holomorfa en el disco unitario $\mathbb{D}$ que se extiende continuamente hasta $\bar{\mathbb{D}}$ y $dA$ ser medida de área. Demuestre que $$f(z)= \frac{1}{\pi} \int_{\bar{\mathbb{D}}} \frac{f(w) dA(w)}{(1- z \bar{w})^2}.$$ ¿No debería decir "se extiende continuamente a $\partial \mathbb{D}$ ?" ¿No está siendo tomada esta integral $\partial \mathbb{D}$ ?

Mis pensamientos/intento: Creo que tengo que utilizar la fórmula integral de Cauchy $$f(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial \mathbb{D}} \frac{f(w)dw}{w-z},$$ y hay que manipularlo de algún modo para obtener el resultado deseado.

Answer 1

No, el ejercicio está redactado correctamente. A menudo se dice que una función continua $f$ definida en un conjunto abierto "se extiende continuamente a $\partial U$ "cuando existe una función continua $F\colon \overline{U} \to \mathbb{C}$ con $F\lvert_U = f$ pero diciendo " $f$ se extiende continuamente hasta $\overline{U}$ " es al menos igual de correcto para describir esa situación.

¿No está siendo tomada esta integral $\partial\mathbb{D}$ ?

No, la integral se toma sobre el disco unitario (que sea cerrado o abierto no importa ya que la frontera es un conjunto nulo).

En efecto, tomando la fórmula integral

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial \mathbb{D}} \frac{f(w)}{w-z}\,dw = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial\mathbb{D}} \frac{f(w)\overline{w}}{1-\overline{w}z}\,dw,$$

y manipularlo para obtener la representación deseada es la forma estándar. Tenga en cuenta que $dA(w) = \frac{1}{2i} d\overline{w}\wedge dw$ y pensar en un teorema que relacione una integral de contorno con una integral sobre el dominio acotado.