¿Grupo vocal sin dos cantantes uno al lado del otro?

Question

Un grupo vocal formado por alf,bill,cal,deb,eve y fay están decidiendo cómo disponerse de izquierda a derecha en un escenario ¿Cuántas manera de hacer esto si

Alf y Fay son los cantantes menos hábiles y tienden a desafinar, por lo que no deberían estar uno al lado del otro?

Ya que Alf y Fay no pueden estar uno al lado del otro. Y tú tienes 6 sitios donde ponerte

Tienes cuatro lugares en los que pueden colocarse cuatro posibles personas y 2 lugares en los que pueden colocarse 2 personas.

Entonces, ¿sería $(4) 4!)+2(2!)$

Answer 1

Siempre hay muchas formas de hacer el recuento. He aquí una. Aunque los cantantes no deben sentarse realmente, imaginemos que hay $4$ sillas para los cantantes de talento, alineados así: $$ \text{T}\qquad \text{T}\qquad \text{T}\qquad \text{T}$$ Queda $5$ "huecos" para que nuestra pareja sin talento arrastre sus sillas, $3$ entre sillas, y $2$ finales.

Debemos elija $2$ de estas lagunas. Esto puede hacerse en $\binom{5}{2}$ maneras.

Para cada elección, hay $2!$ maneras de permutar nuestra pareja sin talento, y luego $4!$ maneras de permutar los talentosos, para un total de $\binom{5}{2}(2!)(4!)$ .

De otra manera: Imagine una línea de $6$ personas. Hay $\binom{6}{2}=15$ formas de elegir las posiciones que ocupará un conjunto de $2$ personas (aún no hemos elegido quién ocupa cada puesto). De ellos, $5$ están prohibidos, lo que deja un total de $10$ . Ahora multiplique por $2!4!$ por la razón habitual.

Answer 2

Si agrupamos $AF$ como el mismo grupo, entonces en total obtendríamos $5!2!$ combinaciones. En $2!$ cuentas para permutar $AF.$

Restando esto de las combinaciones posibles se obtiene $$6! - 5!2! = 480.$$