Creo que la sugerencia de Esteban Crespi es útil.
Sea $j$ sea un número entero que cumpla $2\leqslant j\leqslant n$ y considere $n!+j=j\bigg(\dfrac{n!}{j}+1\bigg)$ donde $\dfrac{n!}{j}+1$ es un número entero mayor que $1$ .
Demostremos ahora las dos afirmaciones siguientes :
Reclamación 1 : Si $k$ es un número entero que cumple $2\leqslant k\leqslant n$ y $k\not=j$ entonces $\gcd\bigg(\dfrac{n!}{j}+1,k\bigg)=1$ .
Reclamación 2 : Si $k$ es un número entero que cumple $2\leqslant k\leqslant n$ y $k\not=j$ entonces $\gcd\bigg(\dfrac{n!}{j}+1,\dfrac{n!}{k}+1\bigg)=1$ .
A partir de estas afirmaciones, se puede decir que todo factor primo de $\dfrac{n!}{j}+1$ es coprimo a cualquier otro miembro del conjunto.
Prueba de la reivindicación 1 :
Desde $k$ es un número entero que cumple $2\leqslant k\leqslant n$ y $k\not=j$ se tiene $k\mid \dfrac{n!}{j}$ de la cual $\gcd\bigg(\dfrac{n!}{j}+1,k\bigg)=1$ sigue. $\quad\blacksquare$
Prueba de la reivindicación 2 :
Supongamos que hay números enteros $d(\geqslant 2),a,b$ tal que $$\dfrac{n!}{j}+1=da\qquad \text{and}\qquad \dfrac{n!}{k}+1=db.$$
Desde $d$ no puede dividirse por ningún número entero $i$ satisfaciendo $2\leqslant i\leqslant n$ se tiene $$d\geqslant n+1\tag1$$
Uno tiene $$d|a-b|=|da-db|=\bigg|\bigg(\dfrac{n!}{j}+1\bigg)-\bigg(\dfrac{n!}{k}+1\bigg)\bigg|=\frac{n!}{jk}|k-j|$$ Desde $\gcd\bigg(d,\dfrac{n!}{jk}\bigg)=1$ se obtiene $$d\mid |k-j|\tag2$$
Se deduce de $(1)(2)$ que $$|k-j|\geqslant d\geqslant n+1$$ lo que contradice que $j,k$ son números enteros tales que $2\leqslant k\leqslant n$ y $2\leqslant j\leqslant n$ . $\quad\blacksquare$
