$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 / |x-a|<\epsilon\implies |f(x)-L|<\delta$

Question

Me piden que analice qué ocurre cuando tengo $\delta$ intercambiado con $\epsilon$ en la definición del límite así:

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 / |x-a|<\epsilon\implies |f(x)-L|<\delta$

Necesito demostrar que $f$ cumple esta condición $\iff$ está acotado en cualquier intervalo acotado de centro $a$ . En caso afirmativo, $L$ es real.

La definición de límite ya me resulta difícil, ahora no puedo entender ésta.

¿Alguna idea sobre cómo probarlo?

Answer 1

Observación: Para mí, si permites $\infty$ entonces lo anterior es una afirmación nula, ya que vale para cualquier función bien definida $f$ Así que digo $\delta<\infty$ .

Dicho esto, la prueba es bastante fácil.

Sea $A$ sea cualquier intervalo acotado centrado en $a$ . Entonces existe alguna $\epsilon_0$ tal que $A\subset \{x\mid |x-a|<\epsilon_0\}$ pero entonces existe algún $\delta(\epsilon_0)$ tal que $$|f(x)-L|<\delta(\epsilon_0),$$ es decir, la función $f\big|_A$ está limitada por $L+\delta(\epsilon_0)<\infty.$

Esta misma dirección también se puede demostrar de la siguiente manera: Supongamos $f$ es ilimitado en algún $\epsilon$ barrio de $a$ Llámalo $A$ . Entonces $$|f(x)-L|\geq|f(x)|-|L|$$ tampoco tiene límites, por lo que no puede existir ningún $\delta<\infty$ que cumple la condición para el $\epsilon$ .

La otra dirección tampoco es demasiado difícil.

Sea $\epsilon_0>0$ y que $B:=\{x\mid |x-a|<\epsilon_0\}$ . Tenga en cuenta que $B$ entonces como $f$ está limitada en $B$ por definición existe alguna $\delta(\epsilon_0)$ tal que $$f(B)\subset (-\delta(\epsilon_0),\delta(\epsilon_0)).$$ Ahora elija (por ejemplo) $L=0$ y ya está, como ha comprobado, para cualquier $\epsilon$

Answer 2

En primer lugar, demostramos que ( $\Rightarrow$ Supongamos $f$ se ajusta a su definición. Fije un $\epsilon>0$ . Entonces, para cualquier intervalo de longitud $\epsilon$ centrado en $a$ es decir $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ sabes que $|f(x) - L|<\delta$ donde $\delta$ es algún número fijo positivo ahora que hemos elegido un épsilon.

Ahora tenga en cuenta que para $x\in(a-\epsilon, a+\epsilon)$ $$|f(x)| = |f(x)+L-L|\leq |f(x)-L|+|L|\leq \delta +L$$

A la inversa $\epsilon$ se dará. Ahora $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ es un intervalo acotado centrado en $a$ . Así que por hipótesis, $f$ está acotado en este intervalo. Esto significa que $\exists \delta>0$ tal que $|f(x)|<\delta$ . Desde $L$ es cualquier número real, podemos dejar que $L = 0$ así que esto es lo mismo que $|f(x)-L| <\delta$ .

$\color{blue}{\text{Does this help?}}$