Una pregunta sobre la martingala y el movimiento browniano

Question

Es bien sabido que el movimiento browniano $B=(B_t)_{t\ge 0}$ es una martingala con respecto a su filtración natural $\mathscr{F}_t$ y la medida de probabilidad fija $\mathbb{P}$ es decir $$\mathbb{E}(B_t|\mathscr{F}_s)=B_s,\quad s\ge t$$

Ahora limitamos el $t$ en el intervalo $[0,1]$ y ampliar la filtración con $\sigma(B_1)$ que se añaden a cada $\mathscr{F}_t$ , $t\in[0,1]$ es decir $$\tilde{\mathscr{F}_t}:=\sigma(\mathscr{F}_t \cup \sigma(B_1)) ,\quad t\in[0,1].$$

Mi pregunta es cómo calcular $\mathbb{E}(B_t|\tilde{\mathscr{F}}_s)$ $~$ para $~$ $0\le s\le t <1$ ? Alguien dice que el resultado es $\mathbb{E}(B_t|\tilde{\mathscr{F}}_s)=\frac{1-t}{1-s}B_s + \frac{t-s}{1-s} B_1$ pero no sé por qué y no puedo verificarlo.

Llevaba dos días atascado con esta pregunta y no tenía ni idea.
Si sabes como solucionarlo , por favor no dudes en ayudarme. ¡Espero sus respuestas!

Answer 1

En la otra respuesta, puse el resultado usando "cosas bien conocidas". No, intentemos demostrarlo elementalmente.

La idea habitual en este tipo de pruebas es descomponer las cosas en partes en $\widetilde{\mathcal F_s}$ y partes independientes.

Tenemos $B_t = B_s + (B_t - B_s)$ . El primer término está en $\widetilde{\mathcal F_s}$ no es completamente independiente. Como nuestras variables forman un proceso gaussiano, podemos utilizar las covarianzas para comprobar la independencia, y podemos utilizar la ortogonalización de Gram-Schmidt para separar la independencia de la dependencia.

La proyección de $(B_t - B_s)$ en $(B_1 - B_s)$ viene dada por $\dfrac {\mathrm{cov}((B_t - B_s),(B_1 - B_s))}{\mathrm{cov}((B_1 - B_s),(B_1 - B_s))}(B_1 - B_s) = \dfrac {t-s}{1-s}(B_1 - B_s)$ .

Así que $B_t - B_s = \dfrac {t-s}{1-s}(B_1 - B_s) + R$ donde el resto $R$ se define como $B_t - B_s - \dfrac {t-s}{1-s}(B_1 - B_s)$ y es independiente de $B_1-B_s$ (por construcción, pero ahora puedes comprobarlo manualmente si quieres, la covarianza es cero).

También, $R$ es independiente de $\mathcal F_s$ se puede comprobar manualmente con covarianzas, o ver que es una función del proceso $B_{s+\cdot}-B_s$ .

Al tener un proceso gaussiano, las covarianzas son suficientes para comprobar la independencia, por lo que $R$ es independiente de $\widetilde{\mathcal F_s}$ .

Por último $B_t = B_s + \dfrac {t-s}{1-s}(B_1 - B_s) + R$ donde los dos primeros términos están en $\widetilde{\mathcal F_s}$ el otro es independiente de él. De ahí el resultado tomando expectativas condicionales en ambos lados. ( $E[R] = 0$ todo está centrado)

Answer 2

Qué buena pregunta. Intuitivamente, si conoces tu Browniano hasta el tiempo $s$ y a la vez $1$ entonces, en función de lo que sepas, la diferencia entre $s$ y $1$ se rellena con un puente browniano (véase el "caso general" en https://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge ). Así que $E(B_t \mid \widetilde {\mathcal F}_s) = B_s + \frac{t-s}{1-s}(B_1 - B_S)$ .