Dado el subconjunto de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\supset S=\{(9(k+3),4k), k\in \mathbb{Z}\}$ Estoy tratando de encontrar $(x,y)\in S$ tal que $\mathrm{gcd(x,y)}=18$ . El conjunto $S$ surge como el conjunto de soluciones de la ecuación $4x-9y=108,\; x,y\in\mathbb{Z}$ . La ecuación no es muy difícil de resolver, pero no sé cómo encontrar las parejas. $(x,y)$ con gcd 18.
Jugando un poco encontré que como quiero $18$ es el gcd de $9(k+3)$ y $4k$ , 18 tiene que dividir a ambos, lo que implica $k$ es un número impar y $2k=9q$ con $q\in\mathbb{Z}$ pero esto aún permite la posibilidad de $\mathrm{gcd}(x,y)>18$ es decir, son condiciones necesarias, pero no suficientes. Y no estoy del todo seguro de a dónde ir a partir de ahí. Esto parece que es muy fácil y no estoy viendo algo obvio. En fin, si alguien tiene una sugerencia, una pista o algo, se lo agradecería, gracias.
