Cortar las bolas de los colectores.

Question

Cuando tomo alguna arbitraria compacta y conectada $d$ -manifold $\mathcal{M}$ sin frontera y recorto el interior de alguna (suficientemente bien) incrustada cerrada $3$ -bola $B^{3}$ en $\mathcal{M}$ ¿el resultado depende de la bola elegida? En otras palabras, ¿los colectores obtenidos cortando dos bolas diferentes de $\mathcal{M}$ ¿homeomórfico?

Ingenuamente diría que son homeomórficos, sin embargo, no estoy totalmente seguro. Tal vez también esté relacionado con el Teorema del Anillo, porque si los resultados no fueran homeomórficos, supongo que la suma conectada tampoco estaría bien definida.

Answer 1

Si la bola está incrustada lo suficientemente bien, tendrá una vecindad que es contractible (incluso ambientalmente contractible). Supongamos que cada bola está en un gráfico de coordenadas único. Si el colector es conexo, tomemos un camino que conecte las bolas, que podemos considerar incrustado. Tomemos una vecindad normal pequeña.

Así que tenemos dos bolas con un pequeño tubo que las conecta. Por el método habitual de mirar el complemento de un vecindario ligeramente más pequeño, el colector es esto, más cosas pegadas a la frontera. Pero entonces es obvio que hay un homeomorfismo que intercambia las dos bolas, pasando por el tubo.