Serie de Taylor de una serie de potencias.

Question

Consideremos una serie de potencias $f(x)$ alrededor de un punto $c \neq 0$ . Entonces es igual a su serie de Taylor alrededor de $0$ ? La razón por la que me pregunto esto es porque si es cierto incluso para algunos casos especiales, entonces significa que hay una serie de potencias alrededor de $c \neq 0$ que también es una serie de potencias en torno a $0$ . Entonces, si $f(a)$ converge para algún $a$ implica $f$ converge absoluta y uniformemente en $(-a, a)$ y $(c - a, c + a)$ lo cual es contraintuitivo.

Answer 1

Si por $\sum a_nx^n=\sum b_n(x-c)^n$ quieres decir que las series convergen a la misma función $f(x)$ entonces podemos tomar por ejemplo $f(x)=x^{17}$ o $f(x)=e^x$ y $c$ cualquier número distinto de cero.