Estoy recien comenzando a aprender la relatividad general. No entiendo por qué utilizamos el tensor de curvatura de Ricci. Pensé que el tensor de curvatura de Riemann contiene "más información" sobre la curvatura. ¿Por qué carece de esa información extra por así decirlo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Creo que esta pregunta es más trivial de lo que usted piensa.
Usted debe preguntarse ¿por qué debe el pleno del tensor de Riemann aparecen. Voy a esbozar una heurística de la derivación de las ecuaciones de campo.
Sabemos que con pequeñas velocidades y un campo estático, la ecuación de Poisson $$\Delta\phi=4\pi G\rho$$ es de aproximadamente satisfecho. De la relatividad especial de einstein sabemos que la masa/densidad de energía $\rho$ debe cambiar con dos factores de Lorentz bajo una transformación de Lorentz. Así es el tiempo en el componente de tiempo de un rango de dos tensor $T_{\mu\nu}$. Utilizando el principio de equivalencia, que promocionar esta a una curva el espacio-tiempo del tensor. Cuando miramos para ecuaciones de campo, exigimos que se tensor de ecuaciones. Por un lado, esto significa que debe tener el mismo número de índices en ambos lados. Postulamos $$D_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$$ con $\kappa$ algunas constantes. No sabemos lo $D_{\mu\nu}$ es, pero el principio de la covariante de conservación arregla para ser el tensor de Einstein. Tenga en cuenta que la forma general es la generalización natural de la ecuación de Poisson.
Se podría proponer una ecuación con más índices, tales como $$R_{\mu\nu\rho\sigma}=\kappa'T_{\mu\nu}T_{\rho\sigma}$$ con algunos adecuadas antisymmetrization esquema. ¿Cuáles son el vacío de ecuaciones? Que sería $$R_{\mu\nu\rho\sigma}=0$$ Pero esto sólo dice que el espacio-tiempo es plano! Sabemos que esto es incorrecto. Los agujeros negros son, ciertamente, soluciones de vacío, pero también, ciertamente, no plano espacio-tiempo de soluciones.
En resumen, el tensor de Ricci tiene la capacidad de desaparecer sin el tensor de Riemann de fuga. La forma general de las ecuaciones se determina por la ecuación de Poisson para ser un rango de dos ecuaciones. En mi opinión, estos dos hechos son los más eficaces argumento.
Julien N
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Con respecto a por qué el tensor de Ricci, no la de Riemann, aparece en el EFEs la respuesta está en la teoría Newtoniana.Muy de forma heurística considerar la ley de Newton
$\ddot{r}=-\frac{GM}{r²} $.
Ahora vamos a intentar hacer de esto una más local de la declaración. Para ello voy a dividir ambos lados por $r$ y algunos factores numéricos en orden para que el volumen de $V=\frac{4\pi r³}{3}$ de algunos hipotética esfera que encierra a la masa que aparece en el denominador
$\frac{\ddot{r}}{r}= -\frac{4\pi G}{3} \left(\frac{M}{\frac{4\pi r³}{3}}\right)=-\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{1}{2}\rho\right)$,
donde $\rho$ es la densidad de la materia. Ahora uso el hecho de que
$\frac{\ddot{V}}{V}=3\frac{\ddot{r}}{r}+O(V^{-2})$,
para escribir la ley de Newton, en una primera aproximación, como
$\frac{\ddot{V}}{V}=-8\pi G\left(\frac{1}{2}\rho\right)$,
de modo que la ley de Newton puede ser interpretado como en relación con la fracción de volumen cambia con la distribución de materia. Ahora desde el punto de vista de la Relatividad General, la gravedad es la curvatura, que es descrito por el tensor de Riemann. Con el fin de obtener la ley de Newton podría pedir la parte de la curvatura de Riemann que describe los cambios de volumen, y no se sorprendió al encontrar que es el tensor de Ricci (wikipedia tiene una sección en esta interpretación de la curvatura de Ricci). La otra parte, el tensor de Weyl, se describe la forma de deformación de volumen, la preservación de la curvatura, y por lo tanto no puede estar directamente relacionada con la ley de Newton.
Al escribir el EFEs como
$R_{\mu\nu}=8\pi G (T_{\mu\nu}-1/2g_{\mu\nu}T^\mu_{\;\mu})$,
y el componente de tiempo de que usted consigue en el lado izquierdo el cambio fraccional en volumen (además de la $O(V^{-2})$ plazo que dejé de lado), y el lado derecho proporciona la mitad de la densidad (además de los términos de presión dividida por $c²$ que no aparecen en el límite newtoniano).
Sobre el tensor de Riemann, lo cierto es que contiene más información que el tensor de Ricci, pero este no es irrelevante. De hecho, la curvatura de Riemann satisface la segunda identidad de Bianchi $R_{\alpha\beta[\mu\nu;\lambda]}=0$, y si eres masoquista suficiente para descomponer la Riemann tensor de Ricci y Weyl partes (aquí en la wikipedia por la expresión) verás que uno puede escribir los derivados de la Weyl parte en términos del tensor de Ricci y sus derivados. Ahora uso el EFEs para sustituir el tensor de Ricci para la energía-impulso y la segunda Bianchi identidad le dará un sistema de ecuaciones diferenciales parciales relacionados con la Weyl componentes y la energía-impulso (y derivados). Así que, en cierto sentido, la curvatura ecuaciones de la relatividad general son las Ecuaciones de Einstein, más el de la identidad de Bianchi, que determina el conjunto de la curvatura. En la ausencia de la materia el colector será Ricci plana (EFEs), pero la Weyl parte no necesita ser nulo, la solución del sistema de ecuaciones en derivadas parciales será determinado por las condiciones de frontera. En la relatividad este las condiciones de contorno son cosas como el espacio-tiempo de ser asintóticamente plana, simetrías, etc.
Esta situación es análoga a la del electromagnetismo. Uno puede escribir las ecuaciones de Maxwell covariantly como $\partial_\alpha F^{\alpha\beta}=J^\beta$$\partial_{[\gamma}F_{\alpha\beta]}=0$. Pero usted podría escribir sólo la primera ecuación de (la de la fuente) y acaba de definir el tensor de Faraday a ser una forma cerrada, lo que le da la segunda ecuación, la ley de Gauss y la ley de Faraday. Desde la identidad de Bianchi es, así, una identidad, las ecuaciones para el Weyl parte está ya determinado por la definición de curvatura de Riemann.
Espero que esto aclara la presencia del tensor de Ricci en el EFEs y cómo el resto de la curvatura de Riemann se obtiene.
EDIT: Por caña de Vance sugerencia voy a poner la de Bianchi identidades explícitamente en términos de Weyl y Ricci partes. Sacado de la wikipedia enlace que suministran a continuación, el Bianchi de las identidades de leer (para nuestro caso de cuatro dimensiones):
$\nabla_\mu C^\mu_{\; \nu\lambda\sigma}=\nabla_{[\lambda}( R_{\sigma]\mu}-\frac{R}{3}g_{\sigma]\mu})$,
donde los corchetes indican antisymmetrization como de costumbre, y uno debe tener en cuenta que aunque la derivada de la métrica es cero, se debe aplicar la regla de Leibniz aquí para tomar en cuenta los derivados de el escalar de curvatura así. Por lo tanto, en presencia de la materia el tensor de Weyl se describen las fuerzas de marea (diferencial de la gravedad) de origen de este objeto, pero incluso en la ausencia de la materia, uno todavía tiene que resolver un PDE para encontrar $C^\mu_{\;\nu\lambda\sigma}$, solución de la que es objeto de las citadas condiciones de contorno. Las ondas gravitacionales son, en particular, soluciones de vacío, donde no hay fuerzas de marea gravitacionales en una determinada región del espacio-tiempo, incluso en ausencia de materia.
Sean Bannister
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Las ecuaciones de Einstein son equivalentes a una relación en el tensor de Riemann. Dado $a, b$ que son vectores linealmente independientes,
$$R(a \wedge b) = C(a \wedge b) + 4\pi [a \wedge T(b) - b \wedge T(a) - \frac{2}{3} T a \wedge b]$$
donde $T(a)$ es la tensión tensor de energía que actúan en $a$ $T$ es su rastro, y $C$ es el Weyl ("conformación") tensor.
Esta ecuación subsume las ecuaciones de Einstein, y que forma parte de la base para numérica tetrad enfoques de la gravedad.
Yo digo que esta ecuación subsume las ecuaciones de Einstein porque requiere estrictamente de más información que la tensión de la energía tensor para caracterizar la definición de la integral de esta manera. El tensor de Weyl describe el estado de la radiación gravitatoria en el sistema, y así usted puede ver la definición de la integral tiene dos contribuciones: una desde el estrés de la energía, y uno de la radiación gravitatoria.
Las simetrías del tensor de Weyl significa que usted puede contratar a ambos lados y acabar con él, produciendo las conocidas ecuaciones de Einstein en términos del tensor de Ricci. Esto puede ser conveniente, como a menudo se nos puede tratar diferentes sistemas con la misma distribución de la tensión de la energía-pero diferente distribución de la radiación gravitatoria--como "equivalente" en algún sentido.
Comparar con el común de la electrodinámica de los problemas: por ejemplo, la solución para que el campo eléctrico de una esfera de densidad de carga. Técnicamente, se podría añadir cualquier divergencia - y curl libre de campo eléctrico y satisfacer las ecuaciones de Maxwell, pero todo el mundo sabe que y es tácitamente no se considera excepto cuando realmente relevante.
