Encontrar un ejemplo de martingala local estricta en tiempo discreto.

Question

Encuentre un ejemplo de una martingala local en tiempo discreto que no sea una martingala verdadera.

Estuve pensando mucho durante algún tiempo sobre este divertido problema. Sé que $\mathbb{E}[|M|_t]=\infty \text{ for some } t\geq0$ debería aguantar. Además, cualquier martingala local no negativa en tiempo discreto es una martingala verdadera, por lo que esto restringe aún más mi elección. He jugado con la distribución de Cauchy y la estrategia de duplicación.

Answer 1

Sea $X$ sea una variable aleatoria con media finita y varianza infinita. Sea $B$ sea $1$ con la mitad de probabilidad y $−1$ con la mitad de probabilidad, independientemente de $X$ . Fijar una filtración $\mathcal{F}$ por $\mathcal{F}_0 = \sigma(X)$ y $\mathcal{F}_i = \sigma(X,B)$ para cada $i\geq 1$ .

Sea $M_0=X$ y $M_i=M_0+BM_0^2$ para cada $i\geq1$ . Entonces $(M_i)$ no es una martingala verdadera, ya que $M_i$ no es integrable cuando $i\geq1$ . Para cada $n$ set $T_n=\inf\{k:|M_k|\ge n\}$ .

Fijar un $n$ . Entonces $\mathbb{E}[|M^{T_n}_0|]=\mathbb{E}[|X|]<\infty$ y, para cada $i\geq1$ ,

$\begin{align} \mathbb{E}[|M^{T_n}_i|] &= \mathbb{E}[|M^{T_n}_1|\mathbf{1}(T_n=0)]+\mathbb{E}[|M^{T_n}_1|\mathbf{1}(T_n>0)]\\ &= \mathbb{E}[|M_0|\mathbf{1}(T_n=0)]+\mathbb{E}[|M_1|\mathbf{1}(T_n>0)]\\ &\leq \mathbb{E}[|M_0|]+\mathbb{E}[|M_1|\mathbf{1}(M_0\leq n)]\\ &\leq \mathbb{E}[|M_0|] + n+n^2 <\infty \end{align}$

Así que $M^{T_n}$ es integrable. También podemos comprobar que $\mathbb{E}[M^{T_n}_1\mid X]=M^{T_n}_0$ Así que $(T_n)$ localiza $M$ . Así que $M$ es de hecho una martingala local.