Encontrar números de 4 en 4

Question

Desde Mathcounts Target 2018:

7. Un número de 4 en 4 se define como un número entero positivo que no es divisible ni por 2 ni por 3 y que no tiene 2 ni 3 como ninguna de sus cifras. ¿Cuántos números del 400 al 600 inclusive son números 4 al alza?

Así que intenté encontrar el complemento, que es un número divisible por 2 ó 3 o que tiene 2 ó 3 dígitos. Esto lo pude calcular usando PIE. Pero entonces me encontré con algunos casos desagradables para la intersección de los dos conjuntos: cuando el número es divisible por 2 o 3 y tiene 2 o 3 como dígito.

Cualquier ayuda sería estupenda. Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA.-Tienes que encontrar los números de tres cifras $abc$ con las restricciones $$\begin{cases}a=4,5\\b=0,1,4,5,6,7,8,9\\c=1,5,7,9\end{cases}$$ Entonces tienes en un primer paso $2\cdot8\cdot4=64$ posibilidades de las que como segundo y último paso hay que descartar aquellas tales que $a+b+c\equiv 0\pmod3$ . Para ello puedes calcular el número $n$ de soluciones de las ocho congruencias y la respuesta será $64-n$

$$1+b+1\equiv 0\pmod3\\1+b+5\equiv 0\pmod3\\1+b+7\equiv 0\pmod3\\1+b+9\equiv 0\pmod3\\2+b+1\equiv 0\pmod3\\2+b+5\equiv 0\pmod3\\2+b+7\equiv 0\pmod3\\2+b+9\equiv 0\pmod3$$ (El menor de estos últimos números es $405$ y el mayor de ellos es $597$ ).