En relatividad especial se puede demostrar que una solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell (en el vacío), de la forma $A^a=C^a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$ tiene las siguientes propiedades: La normal $k:=\mathrm{d}\psi$ a las superficies de constante $\psi$ es un vector nulo y las curvas integrales de $k$ son geodésicas nulas. Aquí $A$ es el potencial vectorial electromagnético, $C$ es un vector constante y $\psi$ es alguna función.
Este análisis es posible gracias a la forma relativamente simple de las ecuaciones de Maxwell en el espacio plano, $\partial^a\partial_a A^b=0$ (supuesto el gauge de Lorenz). Sin embargo, en el espaciotiempo curvo, tenemos un término extra que implica el tensor de Ricci que es irrelevante para la SR: $$\nabla^a\nabla_aA^b=R^b{}_aA^a,$$ donde $\nabla$ es la conexión Levi-Civita de nuestro espaciotiempo $(\mathcal{M},g)$ y $R_{ab}$ su curvatura de Ricci.
El tratamiento del libro de texto consiste ahora en buscar soluciones de la forma $A^a=C^a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$ donde las derivadas covariantes de $C$ son "pequeños". Para obtener la condición de $\mathrm{d}\psi$ sea nulo y autoparalelo ( $\nabla_a\psi\nabla^a\psi=0$ ), hay que ignorar el término $\nabla_b\nabla^b C^a$ así como el término del tensor de Ricci. Los detalles que faltan pueden encontrarse en [1], secciones 4.2 y 4.3. Esta aproximación se denomina aproximación de óptica geométrica.
La ref. [2] da las siguientes longitudes características para la óptica de rayos (sección 2.8):
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La longitud de onda $\lambda$ .
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La longitud típica $L$ en el que la amplitud, la polarización y la longitud de onda de la onda varían significativamente.
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Un "radio de curvatura" típico, que puede tomarse como $$R:=\lvert\text{typical component of the Riemann tensor in a typical local inertial system}\rvert^{-1/2}$$
La región de validez de la óptica geométrica es entonces $\lambda\ll L$ y $\lambda \ll R$ .
Pregunta:
Puesto que hay que ignorar términos en el análisis anterior, ¿los rayos de luz no siguen realmente geodésicas nulas en la RG? ¿Es $\mathrm{d}\psi$ ¿Incluso nulo? Además, ¿cómo se comportan las soluciones ondulatorias de las ecuaciones de Maxwell en escalas de longitud mayores que las dadas en [2] (es decir, en escalas de longitud en las que la curvatura de $\mathcal{M}$ puede variar mucho y rápidamente). En concreto, ¿hasta qué punto se desplazan por geodésicas nulas?
Nota: El argumento de que las partículas sin masa viajan a lo largo de geodésicas nulas en el espacio plano, por lo que lo mismo debe ser cierto (por el Principio de Equivalencia) en el espacio curvo, no es una respuesta a esta pregunta. Pregunto por las soluciones ondulatorias de las ecuaciones de Maxwell. La luz, clásicamente, es sólo una solución ondulatoria de las ecuaciones de Maxwell en el vacío. Cualquier respuesta debería incluir (o hacer referencia a) un análisis riguroso de las ecuaciones de Maxwell. Esta no es una pregunta que se pueda responder bien enunciando unas pocas ecuaciones que todo el mundo conoce y fijándose en las palabras del OP. (Al parecer, un miembro del sitio no tenía esta impresión, así que lo aclaro).
Referencias:
[1] Wald, R.M. Relatividad General. Chicago University Press, 1984.
[2] Straumann, N. Relatividad General. Springer, 2013.
