Si las dos bisectrices de un triángulo son iguales, se trata de un triángulo isósceles.
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Shane Fulmer
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Este es un famoso problema de Steiner-Lehmus
1 .
**Esta prueba aquí no es correcta, este es el error común que la gente hace** Digamos que $O$ es el punto de concurrencia de las bisectrices.
∴ $O$ será el Incentre y OE,OD serán In-radii. Por lo tanto iguales.
∴ $BO = OC$ ( Restando $OE,OD$ de $CE$ & $BD$ )
∴ $\angle DBC = \angle ECB$
∴ $\angle ABC = \angle ACB $
∴ $AB = AC$
Pero aquí, $OE$ y $OD$ no será inradii. Ni siquiera forman parte del in-circulo(A menos que lo demuestres)
2.
Si $AB=AC$ ¿qué podemos decir de la relación entre $BD$ y $CE$ .
Observe que $\angle ABC =\angle ACB \implies \angle DBC = \angle ECB$ Por lo tanto $BD=CE$
3 .
Hay un teorema que dice que si $\angle ABC > \angle ACB$ entonces el ángulo bisectriz de $\angle ABC$ < bisectriz angular de $\angle ACB$ .
Pruebas: Dado que $\angle ABC > \angle ACB$ , $\angle ABD> \angle ACE$ . Sea X un punto del segmento de recta $AD$ tal que $\angle XBD=\angle ACE$ .
Ahora, $BD$ y $CE$ reunirse en $O$ (Incentre). Visite $BX$ conozca $CE$ en $L$ .
Por construcción $\triangle XBD$ y $\triangle XCL$ son similares.
Por lo tanto, $\dfrac{BD}{CL}=\dfrac{BX}{CX}$
En $\triangle XBC$ tenemos $\angle XBC= \dfrac{\angle B}{2}+\dfrac{\angle C}{2}>+\dfrac{\angle C}{2}+\dfrac{\angle C}{2}=\angle XCB$
Y por lo tanto $XC>BX$ .
Por lo tanto, tenemos $1<\dfrac{BX}{XC}=\dfrac{BD}{CL}$ ou $BE<CL$ . Por lo tanto, $BE<CL<CF$
zyx
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Se trata del problema Steiner-Lehmus.
Las pruebas más sencillas utilizan el álgebra o la trigonometría para obtener una fórmula de la longitud de la bisectriz en función de los lados del triángulo. Las pruebas geométricas son más complicadas y requieren el uso de desigualdades. Si no hay un uso explícito de desigualdades, la demostración debe basarse en alguna suposición sobre la posición de los puntos en el diagrama (por ejemplo, si están dentro del triángulo o no), lo que ha dado lugar a algunas demostraciones falsas en las que la suposición es errónea.
