Resolver la ecuación diferencial $ {dy \over dt} = ry(K-y) $

Question

Tengo la siguiente ecuación diferencial (modelo de crecimiento de la población)

$$ {dy \over dt} = ry(K-y) \iff {dy} \cdot {1 \over y(K-y) } = r \,dt $$

donde $ r $ y $ K $ son ambas constantes mayores que cero. Descompuse la fracción e integré ambos lados y obtuve

$$ {1 \over K} \ln{y \over |K-y|} = rt+C \iff {y \over |K-y|} = Ce^{rKt} $$

También sabemos que $ y(t=0)=10^4 $ y $ y(t=1)=2 \cdot 10^4 $ . Además, como t $ \to \infty \,y \to 10^5$

Realmente no sé cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Puede obtener $K$ de la ecuación diferencial si también suponemos que $\frac{dy}{dt}\to 0$ como $t\to+\infty$ . Entonces $$ 0=r 10^5(K-10^5) $$ lo que significa que $K=10^5$ (ya que $r\neq 0$ ). Entonces, como se divide por $y$ y $K-y$ y empiezas con $y$ en $10^4$ sabes que $0<y<K$ para todos los valores de $t$ (¿por qué?). Así, $|K-y|=K-y$ . Su ecuación se convierte en $$ \frac{y}{K-y}=Ce^{Krt}. $$ Ahora, utilicemos las condiciones para $t=0$ y $t=1$ . Lo encuentras: $$ \frac{10^4}{10^5-10^4}=C\qquad (t=0) $$ y $$ \frac{2\cdot 10^4}{10^5-2\cdot 10^4}=Ce^{r10^5}.\qquad (t=1) $$ ¿Puedes seguir desde aquí?