$\mathbb{R}P^n$ en una construcción de espacio adjunto del complejo CW

Question

Acabo de empezar a estudiar los complejos CW y no estoy seguro de entender la forma en que el plano proyectivo se construye como uno. En Topología y Geometría de Glen Bredon se define como un cociente de $S^n$ que se construye mediante la unión de 2 células "antípodas", hemisferios, en cada dimensión, bajo el cociente que identifica esos hemisferios, que no es la construcción del complejo CW, sino más bien un cociente de uno? Por otra parte, Allen Hatcher en la página siguiente a la definición de complejo CW hace una cosa similar, pero luego escupe su estructura de complejo celular como $e^0\cup e^1\cup e^2\cup\cdots\cup e^n$ y aquí es donde estoy atascado.

En el intento de construir $\mathbb{R}P^1$ siguiendo las notaciones de Hatcher, cómo es, por ejemplo, el mapa adjunto $\varphi:S^0\longrightarrow X^0$ izquierda total para $X^0=e^0$ ? Eso es conseguir $X^1=e^0\cup e^1$ deberíamos quedarnos con $e^1$ abierto, ¿tengo razón?

Por curiosidad, ¿es posible construir el plano proyectivo real "sin cociente", homeomorfo a un complejo CW puro?

Answer 1

Para cada $n\geq 0$ defina $\mathbb{R}P^n$ como cociente de $S^n$ por la antípoda $\mathbb{Z}_2$ -y denotamos sus puntos $[x_0,\dots,x_n]$ donde $(x_0,\dots,x_n)\in S^n\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ . Para $m<n$ podemos identificar $\mathbb{R}P^m\subseteq\mathbb{R}P^n$ como el subespacio formado por los puntos $[x_0,\dots,x_m,0,\dots,0]$ y esto da una filtración $\ast=\mathbb{R}P^0\subseteq\dots\subseteq\mathbb{R}P^m\subseteq\mathbb{R}P^{m+1}\subseteq\dots\mathbb{R}P^n$ .

Ahora los mapas cociente $\gamma_m:S^m\rightarrow \mathbb{R}P^m$ son compatibles con esta filtración, en el sentido de que la inclusión $S^m\subseteq S^n$ cubre la inclusión $\mathbb{R}P^m\subseteq\mathbb{R}P^n$ y son candidatos obvios para adjuntar mapas. Defina

$$\Gamma_{m+1}:D^{m+1}\rightarrow\mathbb{R}P^{m+1}$$

escribiendo puntos de $D^m$ como $(\underline x,t)$ donde $\underline x=(x_0,\dots,x_m)\in S^m$ y $t\in[0,1]$ con $(\underline x,0)\sim (\underline x',0)$ para todos $\underline x,\underline x'\in S^m$ y ajuste

$$\Gamma_{m+1}(x_0,\dots,x_m,t)=[t\cdot\underline x,\sqrt{1-t^2}].$$

Obsérvese que la restricción a la frontera satisface $\Gamma_{m+1}|_{S^m}=\gamma_m$ y que la restricción $\Gamma_{D^{m+1}-S^m}$ mapea el interior 1-1 en $\mathbb{R}P^{m+1}-\mathbb{R}P^m$ (tenemos un representante canónico con $x_{m+1}>0$ para cada coset de su imagen).

Concluimos que $\mathbb{R}P^{m+1}$ se obtiene a partir de $\mathbb{R}P^m$ adjuntando un $(m+1)$ -a lo largo del cociente $\gamma_m:S^m\rightarrow\mathbb{R}P^m$ y puesto que, como se ha indicado anteriormente, todos los mapas son compatibles con las inclusiones naturales, podemos concluir que $\mathbb{R}P^n$ es un complejo CW con una única celda en cada dimensión $0\leq m\leq n$ y con $m$ -esqueleto \mathbb{R}P^m$.

En restos es atender sus consultas sobre las primeras etapas. Tenemos que $\mathbb{R}P^0=S^0/\mathbb{Z}_2=[1,0,\dots,0]$ es un único punto, y hemos definido el mapa característico de la célula 1 por $\Gamma_1(x_0,t)=[tx_0,\sqrt{1-t^2},0,\dots,0]$ . La célula abierta 1 $e^1$ está formada por los puntos $\{[x_0,x_1,0,\dots,0]\in\mathbb{R}P^n\mid x_1\neq 0\}$ . La preimagen de éste por el mapa cociente $\gamma_n$ es el disco abierto 1 $\mathring D^1\subset S^2\subset S^n$ que forma el hemisferio superior de $S^2$ . Se trata de un subconjunto abierto en $S^n$ y puesto que $\mathbb{R}P^n$ lleva la topología del cociente por definición concluimos que es abierta en $\mathbb{R}P^n$