Cómo determinar que un conjunto de elementos de un espacio lineal de $2\times3$ matrices es un conjunto linealmente independiente

Question

Sea $E_1,E_2,E_3,E_4 \in \cal{M}_{2 \times 3}(\Bbb{K})$ definirse del siguiente modo.

$$E_1= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, E_2= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix},$$ $$E_3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, E_4= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.$$

$a)$ demostrar que el conjunto $\{E_i\}_{i \in I}$ es un conjunto linealmente independiente,

$b)$ demostrar que cualquier elemento de $M$ puede representarse como una combinación lineal de $\{E_i\}_{i \in I}$ .

donde $I = \{1,2,3,4\}$ .

Answer 1

En primer lugar, si la declaración $(b)$ es cierto, entonces debe ser que $I = \{1,2,3,4,5,6\}$ donde:

$$E_5= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$E_6= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

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$(a):$ Para determinar si $\{E_i\}_{i \in I}$ es un conjunto linealmente independiente, utilizamos la definición de independencia lineal. Es decir, $\{E_i\}_{i \in I}$ es un conjunto linealmente independiente si y sólo si:

$$a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 + a_4E_4 +a_5E_5 +a_6E_6 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

implica que $$a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=0$$ .

Así, supongamos que $$A= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ \end{bmatrix}= a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 + a_4E_4 +a_5E_5 +a_6E_6 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Queda claro entonces que $a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=0$ y así $\{E_i\}_{i \in I}$ es un conjunto linealmente independiente.

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(b) Sea A una matriz en $\cal{M}_{2 \times 3}(\Bbb{K})$ . Entonces tenemos eso:

$$A= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ \end{bmatrix}$$

Para algunos $a_i \in (\Bbb{K})$ .

Ahora, definimos una combinación lineal de $\{E_i\}_{i \in I}$ de modo que el coeficiente de $E_i$ en la combinación lineal es la entrada $a_i$ de la matriz $A$ :

$$a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 + a_4E_4 +a_5E_5 +a_6E_6 = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ \end{bmatrix} = A$$

Desde $A$ era una arbitrariedad $2 \times 3$ matriz, $(b)$ retenciones.

Answer 2

Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre un campo $\Bbb{K}$ y $\{v_1,v_2,\dots,v_k\} \subseteq V$ donde $k \in \Bbb{N}$ . Decimos que el conjunto $\{v_1,v_2,\dots,v_k\}$ es linealmente independientes si el vector nulo $0_V$ sólo puede expresarse como una combinación lineal de $v_1, v_2, \dots, v_k$ con todos los coeficientes nulos. Entonces, decimos que este conjunto es linealmente independiente si $$\begin{align*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_k v_k = 0_V \implies \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0. \end{align*}$$

Por lo tanto, para responder a la primera pregunta hay que empezar por escribir la matriz $\cal{O}_{2 \times 3}$ como una combinación lineal de $E_1, E_2, E_3, E_4$ . $$\begin{align} \mathcal{O}_{2 \times 3} = \alpha_1 E_1 + \alpha_2 E_2 + \alpha_3 E_3 + \alpha_4 E_4. \end{align}$$ Esto nos dará (resolviendo el sistema lineal asociado), que $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0$ . Por lo tanto $\{E_i\}_{i \in I}$ es un conjunto linealmente independiente.

En cuanto a la segunda pregunta, creo que hay un error. De hecho no se puede escribir cada matriz de $\cal{M}_{2 \times 3}$ como combinación lineal de los elementos de $\{E_i\}_{i \in I}$ . Tenga en cuenta que $\dim{\cal{M}_{2 \times 3}(\Bbb{K})} = 6$ . Por lo tanto, $\langle E \rangle \ \neq \cal{M}_{2 \times 3}(\Bbb{K})$ . Por ejemplo, ¿cómo se escribiría la matriz $$\begin{align*} A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$$ como combinaciones lineales de elementos de $\{E_i\}_{i \in I}$ ?.