Hallar el área del polígono con vértices definidos por las raíces de $\sqrt{7}+3i-x^{2n}=0$ como $n\to \infty$

Question

Hallar el área del polígono con vértices definidos por las raíces de $\sqrt{7}+3i-x^{2n}=0$ como $n\to \infty$ .

Fuente: IME 1967 (Instituto Militar de Engenharia, Brasil, Examen de ingreso, no se proporciona respuesta)

Mi solución :

El polígono está definido por el $2n$ raíces de $x^{2n}=\sqrt{7}+3i=4(\frac{\sqrt{7}}{4}+i\frac{3}{4})$ , definido por $$x_k=4^{\frac{1}{2n}}\text{cis}(\frac{\theta + 2k\pi}{2n}), k=0,\ldots,2n-1.$$

El polígono es regular con $2n$ y converge a una circunferencia centrada en (0,0) con radio $2^{\frac{1}{n}}$ como $n\to \infty$ con área $$\lim_{n\to \infty} A_n=\pi\ 2^{\frac{2}{n}}=\pi$$

Pregunta/Comentario: Creo que la solución es correcta, pero es bastante informal/se basa en la intuición. Me gustaría una respuesta más formal, basada en argumentos algebraicos. ¿Es posible?

Se agradece la ayuda. Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Dado que $x_k = 2^{\frac1n}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2n}}$ hay $2n%$ triángulos isósceles de lado $a=2^{\frac1n}$ y el ángulo del vértice $\frac{\pi}n$ . Por lo tanto, el área del $2n$ -polígono es

$$A_n = 2n\cdot \frac12 a^2\sin\frac{\pi}n =2^{\frac2n} n\sin\frac\pi n $$

Después de tomar el límite, la zona se acerca

$$\lim_{n\to\infty} A_n = \lim_{n\to\infty} 2^{\frac2n} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac\pi n}{\frac1n} = 1\cdot \pi =\pi$$