El producto de dos variedades algebraicas es afín... ¿las dos variedades son afines?

Question

Dejemos que $X_1$ y $X_2$ dos variedades algebraicas tales que su producto $X_1\times X_2$ es afín. Son $X_1$ y $X_2$ ¿afín entonces?

Si esto no es cierto, ¿podría dar un contraejemplo?

Answer 1

Asumo que está en el contexto clásico de las variedades sobre un campo algebraicamente cerrado.
Si $a_2\in X_2$ es un punto arbitrario, la subvariedad $X_1\times \{a_2\}\subset X_1\times X_2$ es cerrado en la variedad afín $X_1\times X_2$ y por tanto es afín.
Desde $X_1$ es isomorfo a $X_1\times \{a_2\}$ , $X_1$ también es afín.

Answer 2

Dejemos que $X,Y$ ser dos $k$ -sistemas. Si $X \times_k Y$ es afín y $X \neq \emptyset$ entonces $Y$ es afín.

Prueba: Supongamos que $x \in X$ es un $k$ -punto racional. Los dos morfismos $\mathrm{id}_{X \times_k Y}, (x,\mathrm{id}_Y) : X \times_k Y \to X \times_k Y$ tienen ecualizador $Y$ . Pero los esquemas afines están cerrados bajo límites finitos de esquemas, así que hemos terminado. Si $X$ no tiene $k$ -punto racional, entonces $X_K$ tiene un $K$ -punto racional para alguna extensión de campo $K/k$ y concluimos que $Y_K$ es afín. Pero entonces $Y$ también es afín por descenso fpqc. $\square$

Answer 3

Si digamos $X_1$ es proyectiva entonces $X=X_1\times X_2$ no puede ser afín, ya que toda función sobre $X$ sería de la forma $f=(c,f_2)$ , para $c$ alguna constante (ya que las funciones sobre variedades proyectivas son necesariamente constantes). Ciertamente, si $X$ fuera afín entonces habría más funciones en $X$ , es decir, funciones que no son constantes en el primer factor.