Definición de un vector "del $\nabla=\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x^i}$ (se supone la suma en índices repetidos) es una especie de error. Esto no es un vector (campo). Es sólo un bonito dispositivo notacional, porque en este caso, en coordenadas cartesianas, tenemos $$ \text{grad}(f)=\mathbf{e}_i\frac{\partial f}{\partial x^ i},$$ que parece $\nabla f$ donde $\nabla$ es el "vector" definido anteriormente y tenemos $$ \text{div}(\mathbf{A})=\frac{\partial A^ i}{\partial x^i}, $$ que más o menos se parece a $\nabla\cdot\mathbf{A}$ etc. Pero esto es sólo una forma útil de recordar estas fórmulas.
Ahora observemos varias cosas. Podemos definir una matriz cuyo $i,j$ -ésimo elemento es $\partial A^ i/\partial x^ j$ . Llamemos a esta matriz $\nabla\otimes\mathbf{A}$ . Tenemos claramente $$ \text{div}(\mathbf{A})=\text{Tr}(\nabla\otimes\mathbf{A})=\sum_i\frac{\partial A^ i}{\partial x^ i}. $$ (Voy a suspender el resumen automático a partir de ahora).
Si tenemos un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales $(u^1,u^2,u^3)$ podemos definir las siguientes cantidades:
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Vectores base de coordenadas $$ \mathbf{g}_i=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u^ i}, $$
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"Vectores base de coordenadas "recíprocos $$ \mathbf{g}^i=\nabla u^ i, $$
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Un marco ortonormal $$ \hat{\mathbf{e}}_i=\frac{1}{h_i}\mathbf{g}_i, $$ donde $h_i=\sqrt{\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_i}$ .
Estas cantidades tienen la propiedad de que $$ \mathbf{g}^ i\cdot\mathbf{g}_j=\delta^ i_j, $$ ya que ( $x^ i$ son coordenadas cartesianas y $\mathbf{e}_i$ son vectores de base cartesiana) tenemos $$ \mathbf{g}^i\cdot\mathbf{g}_j=\nabla u^i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u^ j}=\sum_k\frac{\partial u^ i}{\partial x^k}\mathbf{e}_k\cdot\sum_l\frac{\partial x^l}{\partial u^ j}\mathbf{e}_l=\sum_{kl}\frac{\partial u^ i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial u_j}\delta_{kl}=\sum_k \frac{\partial u^ i}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial u_j}=\delta^i_j.$$
Introducimos además una matriz $g_{ij}$ dado como $g_{ij}=\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j$ . Debido a la ortogonalidad, tenemos $g_{ij}=h_i^2\delta_{ij}$ . También introducimos $g^{ij}=\mathbf{g}^i\cdot\mathbf{g}^j$ no dude en comprobarlo $g^{ij}=\frac{1}{h_i^2}\delta_{ij}$ Así pues $g_{ij}$ y $g^{ij}$ son matrices inversas.
Si $\mathbf{A}$ es un campo vectorial, asociamos tres tipos de componentes con $\mathbf{A}$ . Podemos tener
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$\mathbf{A}=\sum_i A^ i\mathbf{g}_i$ y el $A^ i$ se llaman componentes contravariantes ,
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$\mathbf{A}=\sum_i A_i\mathbf{g}^i$ y el $A_i$ se llaman componentes covariantes y
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$\mathbf{A}=\sum_i \hat{A}_i\hat{\mathbf{e}}_i$ y el $\hat{A}_i$ se llaman componentes físicos (aquí no importa si pones el índice hacia arriba o hacia abajo).
Está claro que tenemos $A^ i=\mathbf{g}^i\cdot\mathbf{A}$ y $A_i=\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{A}$ y lo que está menos claro es que la diferenciación con respecto a las coordenadas $\partial/\partial u^ i$ producir covariante componentes, por ejemplo, tenemos para cualquier función escalar $f$ , $\nabla f=\sum_i\mathbf{g}^i\frac{\partial f}{\partial u^ i}$ (consulte la definición de $\mathbf{g}^i$ !).
Definimos los símbolos de Christoffel del segundo tipo como $$ \Gamma^ k_{ij}=\frac{1}{2}\sum_l g^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^ i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^ j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^ l}\right). $$ Compruebe que $\Gamma^k_{ij}=\mathbf{g}^k\cdot\frac{\partial \mathbf{g}_i}{\partial u^ j}$ (Realmente no quiero derivar esta identidad ahora mismo).
En coordenadas curvilíneas, los vectores base también dependen de las posiciones, por lo que cada vez que se diferencia un campo vectorial, hay que asegurarse de tener en cuenta también la variación de los vectores base, por lo que calculamos la divergencia como $$ \text{div}(\mathbf{A})=\sum_i\mathbf{g}^i\cdot\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial u^i}=\sum_{ij}\mathbf{g}^i\left(\frac{\partial A^j}{\partial u^ i}\mathbf{g}_j+A^j\frac{\partial \mathbf{g}_j}{\partial u^ i}\right)=\sum_{ij}\left(\frac{\partial A^ i}{\partial u^i}+\Gamma^i_{ji}A^j\right). $$
Ahora calculamos $$\Gamma^i_{ji}=\sum\frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)=\sum\frac{1}{2}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j},$$ que, en notación matricial ( $(g_ij)=g$ ) puede escribirse como $$ \Gamma^i_{ji}=\frac{1}{2}\text{Tr}\left(g^{-1}\frac{\partial g}{\partial u^j}\right), $$ que, utilizando Fórmula de Jacobi puede escribirse como $$ \sum_i\Gamma^ i_{ji}=\frac{1}{2}\frac{1}{\det g}\frac{\partial}{\partial u^ j}\det g=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial u^ j}\ln\det g=\frac{\partial}{\partial u^j}\ln\sqrt{\det g}=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial u^j}\sqrt{\det g}. $$
Introduciendo esto en la fórmula de la divergencia se obtiene $$\text{div}(\mathbf{A})=\sum_{ij}\left(\frac{\partial A^ i}{\partial u^i}+\Gamma^i_{ji}A^j\right)=\sum_{ij}\left(\frac{\partial A^i}{\partial u^i}+\frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial u^j}\sqrt{\det g}A^j\right)= \\ =\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial u^i}(\sqrt{\det g}A^i). $$
Pero como $g=\text{diag}(h_1^2,h_2^2,h_3^2)$
tenemos $\det g=(h_1h_2h_3)^2$ Así que $$ \text{div}(\mathbf{A})=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left\{\frac{\partial}{\partial u^1}(h_1h_2h_3A^1)+\frac{\partial}{\partial u^2}(h_1h_2h_3A^2)+\frac{\partial}{\partial u^3}(h_1h_2h_3A^3)\right\}= \\ =\frac{1}{h_1h_2h_3}\left\{\frac{\partial}{\partial u^1}(h_2h_3\hat{A}_1)+\frac{\partial}{\partial u^2}(h_1h_3\hat{A}_2)+\frac{\partial}{\partial u^3}(h_1h_2\hat{A}_3)\right\}, $$
que es la fórmula de la divergencia en términos de la componentes físicos .
