Forma matricial de una suma doble

Question

Estoy trabajando en el caso multivariante de la ecuación de Fokker-Plank, y me gustaría saber si es posible escribir el siguiente sumatorio doble como producto de vectores y matrices solamente.

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sigma_{i,j}\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j}$$

Answer 1

Si se escribe la matriz $A$ tal que $$A_{i,j}=\sigma_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$$

y $e$ la matriz todo-uno.

entonces $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\sigma_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=e^TAe$$

Edita:

Producto interior de Frobenius puede ser de su interés.

Sea $S_{i,j}=\sigma_{i,j}$ y $F_{i,j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ la cantidad de interés es $\operatorname{Trace}(\bar{S}^TF)=\operatorname{vec}(S)^T\operatorname{vec}(S)$

Answer 2

Definir la matriz $\sigma$ con componentes $\sigma_{ij}$ y la matriz $D^2f$ con componentes $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ entonces tu suma doble también se puede escribir como una traza: $$ Tr( \sigma \cdot D^2f) $$