Si $W\subset V$ es un subespacio tal que $T(W)\subset W$ entonces $V/W$ es de dimensión finitaa

Question

Sea $V$ denotan el espacio vectorial de polinomios en una variable con coeficientes en $\mathbb{R}$ y que $T(f(x))=x(f(x))$ .

Demostrar que si $W\subset V$ es un subespacio $\neq 0$ tal que $T(W)\subset W$ entonces $V/W$ es de dimensión finita.

Mi intento: Sabemos que $\forall p\in W$ , $xp\in W$ porque $T(W)\subset W$ por lo que, dado que $1$ está en nuestro subespacio $W$ por lo que debe $x$ y, por tanto, toda combinación lineal de $x$ y los coeficientes en $\mathbb{R}$ . Así, $V/W$ es simplemente las funciones constantes (¿es esto cierto?)

Si es así, ¿cómo demuestro que las funciones constantes son de dimensión finita?

Entiendo que esto puede haber sido resuelto antes, pero me gustaría saber si mi línea de razonamiento funciona.

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

Primero, tu prueba no funciona del todo. A menos que usted asuma $1 \in W$ Esto no es cierto. Si eso es una suposición, entonces $1 \in W$ junto con $T(W) \subset W$ implica que $W=V$ (todos polinomios) ya que $1 \in W$ implicaría que $T(1)=x1=x \in W$ y así $T(x)=x^2 \in W$ etc.

En segundo lugar, la afirmación no es cierta para $W=\{0\}$ . Observe que $T(\{0\}) \subset \{0\}$ pero $V/\{0\} \cong V$ (que no es de dimensión finita).

Ahora, supongamos $W \not= \{0\}$ y que $T(W) \subset W$ . Desde $W \not= \{0\}$ tienes algunos $f(x) \in W$ con $f(x) \not=0$ . Desde $T(f(x)) = xf(x) \in W$ y por inducción $T^k(f(x))=x^kf(x) \in W$ se tiene que cualquier combinación lineal de tales polinomios yace en $W$ . Por lo tanto, $g(x)f(x) \in W$ para todos $g(x) \in V$ .

Tomemos ahora un $h(x)+W \in V/W$ . Entonces puedes dividir $h(x)$ por $f(x)$ (ya que es distinto de cero). Así, $h(x)=f(x)q(x)+r(x)$ para algunos polinomios $q(x),r(x)$ donde $r(x)=0$ o el grado de $r(x)$ es menor que el grado de $f(x)$ . Pero entonces $h(x)+W=f(x)q(x)+r(x)+W =r(x)+W$ (ya que $f(x)q(x) \in W$ ). Esto significa que cada elemento de $V/W$ puede representarse mediante un polinomio $r(x)$ de grado inferior a $f(x)$ (o es cero). Esto significa que si $f(x)$ tiene grado $n$ entonces $1+W, x+W, \dots, x^{n-1}+W$ span $V/W$ por lo que es de dimensión finita.

Answer 2

No hay ninguna razón para que 1 esté en W. De hecho, el ejercicio tal y como está planteado no es del todo cierto. $W=0$ es un contraejemplo (en cat el único contraejemplo). W es un módulo sobre $\mathbb{R}[x]$ y como tal generado por un único polinomio $$ f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^{i} $$ El espacio vectorial $V/W$ es entonces $n$ dimensional con base la imagen de $1,x\cdots, x^{n-1}$ .