¿A qué velocidad decae esta secuencia hasta cero?

Question

Consideremos una secuencia $u_k$ que satisface

$$ u_{k+1} \leq (1-\frac{1}{\sqrt{k}}) u_k + \frac{1}{k}$$

¿A qué velocidad decae esta secuencia hasta cero?

No se trata de un problema de deberes. Parece que he elaborado una prueba que muestra que decae a cero asintóticamente más rápido que $1/k^s$ para cualquier exponente $s$ . Creo que mi prueba puede ser errónea, y en cualquier caso me pregunto cuál es la tasa exacta de descomposición.

Answer 1

La secuencia $u_k = \frac {1}{\sqrt{k}}$ satisface la desigualdad ya que $\frac {1}{\sqrt{k+1}} \le \frac {1}{\sqrt{k}}.$

Para cualquier $s \lt 1/2$ la desigualdad fallará asintóticamente para $u_k = \frac{1}{k^s}$ .