Distribuciones de mezcla de 2 RV: ¿Sumamos densidades o FCD?

Question

He estado resolviendo este libro "40 enigmas y problemas de probabilidad y estadística matemática" y me encontré con esta cuestión de mezclar VRs vs. mezclar distribuciones.

Consideremos una VR, B, que procede, en cada realización, con probabilidad 1/2 de una distribución normal (en concreto, la de X) con media = 50 y desviación típica 10 y con probabilidad 1/2 de una distribución normal (es decir, la de Y) con media = 150 y desviación típica 10. Por lo tanto, su densidad es igual a

f _B (b) = 1/2 (n (b | =50, = 10) + 1/2 (n (b | =150, = 10)

donde n (x|,) = densidad normal con media y sd ).

Mi confusión es la siguiente: No soy capaz de dar un argumento de por qué tomamos la media ponderada de probabilidad de las funciones de densidad, en lugar de calcular la FCD tomando la media ponderada de probabilidad de las FCD, y luego calcular la FDP a partir de esa FCD.

Answer 1

Sea $A$ ser un $\mathsf{Ber}(1/2)$ variable aleatoria, independiente de $B$ , $X$ y $Y$ . Entonces $$ B = AX + (1-A)Y, $$ por lo que para cada $t\in\mathbb R$ , \begin{align} \mathbb P(B\leqslant t) &= \mathbb P(B\leqslant t, A=1) + \mathbb P(B\leqslant t, A=0)\\ &= \mathbb P(B\leqslant t\mid A=1)\mathbb P(A=1) + \mathbb P(B\leqslant t\mid A=0)\mathbb P(A=0)\\ &= \frac12\left(\mathbb P(X\leqslant t) + \mathbb P(Y\leqslant t)\right)\\ &= \frac12\left(\Phi\left(\frac{t-50}{10}\right) + \Phi\left(\frac{t-150}{10}\right) \right). \end{align} Sin embargo, no hay una buena manera de escribir $\mathbb P(B\leqslant t)$ de la forma $\mathbb P(g(X,Y)\leqslant t)$ para alguna función "bonita $g$ .