Qué generalizaciones de la teoría de Seiberg-Witten a los 4-manifolds con límite ¿existen?
Estaría especialmente interesado en teorías que "se comporten bien" bajo encolado a lo largo de la frontera (comparable a TQFTs).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¡Hola Fabian! El libro de Kronheimer y Mrowka Monopolos y tricomorfos expone exhaustivamente la construcción de una TQFT de Seiberg-Witten, denominada homología de Floer monopolar. Se conjetura que es isomorfa a la Homología de Heegaard Floer TQFT de Ozsváth-Szabó. También hay bellas construcciones debidas a Froyshov y a Manolescu que no se aplican con tanta generalidad.
La estructura de la homología de Floer monopolar es la siguiente. El TQFT es un functor sobre la categoría de cobordismo $COB_{3+1}$ cuyos objetos son conectado 3manifolds lisos y orientados. De hecho, la TQFT consiste en un trío de functores, denotados $\widehat{HM}_{\bullet}$ , $\overline{HM_\bullet}$ y $\check{HM}_{\bullet}$ (este último es un invariante tan sofisticado que hay que descargarse un paquete especial de LaTeX sólo para componerlo correctamente). Son las siguientes $\mathbb{Z}[U]$ -módulos; hay una historia sobre las gradaciones que es demasiado larga para que merezca la pena resumirla aquí. Hay transformaciones naturales que, para cualquier 3-manifold conectado $Y$ definen los mapas en una secuencia exacta larga $$ \cdots\to \widehat{HM} _{\bullet}(Y) \to \overline{HM_\bullet}(Y)\to \check{HM}_{\bullet}(Y) \to \widehat{HM}_{\bullet}(Y) \to \cdots $$ ¿Por qué esta estructura? Bueno, la teoría se basa en el funcional de Chern-Simons-Dirac $CSD$ en un corte gauge global de Coulomb a través de un espacio de pares (conexión, espinor). $CSD$ es un $U(1)$ -equivariante funcional, y $\check{HM}_{\bullet}$ es, filosóficamente, su $U(1)$ -homología de Morse semi-infinita equivariante. $\overline{HM}_\bullet$ es la parte procedente de la restricción de $CSD$ a la $U(1)$ -puntos fijos, y $\widehat{HM}_\bullet$ es la homología equivariante relativa al conjunto de puntos fijos.
He aquí una sutileza para que los entusiastas de la TQFT le echen el diente (axiomaticen, expliquen...). El invariante de un 4-manifold cerrado $X$ en cualquiera de las tres teorías es... cero. El famoso invariante de SW de un 4-manifold con $b_+>0$ se produce a través de una operación secundaria, que no forma parte de la propia TQFT. Eliminar dos bolas de $X$ para obtener un cobordismo de $S^3$ a sí misma. Cuando $b_+(X)>0$ no hay genéricamente monopolos SW reducibles en este cobordismo, y esto implica que el mapa TQFT $\widehat{HM}_\bullet(S^3) \to \widehat{HM}_\bullet(S^3)$ se eleva canónicamente a un mapa $\widehat{HM}_\bullet(S^3) \to \check{HM}_\bullet(S^3)$ es esta elevación la que lleva la invariante SW.
