Funciones de valor real que pasan de $\mathbb{R}^1$ pueden presentar discontinuidades de salto, aunque sean continuas en todos los demás puntos. Por ejemplo, consideremos la función $$ f(x) = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0 \end{cases} $$ Decimos que esta función tiene una discontinuidad de salto en cero porque al acercarse a cero por la izquierda se obtiene una secuencia con un límite diferente que al acercarse a cero por la derecha: $$\lim_{x \to 0-} f(x) \neq \lim_{x \to 0+} f(x). $$ Esta discontinuidad de salto existe a pesar de que la función $f$ es continua en cualquier otro punto.
Consideremos ahora una función de valor real $f$ asignación de $\mathbb{R}^n$ para $n > 1$ que es continua en todos los puntos excepto posiblemente en $x = x_0$ . Quiero saber si es posible que una función de este tipo tenga una discontinuidad de salto. Es decir, me pregunto si puede existir una secuencia de puntos $x^1_1, x^1_2,\dots$ y una secuencia de puntos $x^2_1, x^2_2,\dots$ para que $\lim_{i \to \infty} x^1_i = x_0$ y $\lim_{i \to \infty} x^2_i = x_0$ pero $\lim_{i \to \infty} f(x^1_i) \neq \lim_{i \to \infty} f(x^2_i)$ .
Para $n = 2$ podemos utilizar la intuición física considerando una hoja de papel doblada, dejando que la altura del papel en cada punto represente el valor de $f$ . Aunque hagamos un agujero (muy pequeño) en la hoja de papel (que representa una ruptura de la continuidad), seguiremos aproximándonos a la misma altura al acercarnos al agujero desde cualquier dirección a lo largo de la hoja de papel.
Me cuesta formalizar este argumento. Sigo queriendo utilizar la continuidad de $f$ pero el punto de interés $x_0$ es precisamente donde (posiblemente) falle esta propiedad. Además, sé que mi argumento necesita incorporar la dimensión en algún punto (ya que existen discontinuidades de salto para la dimensión $n=1$ ), pero no me queda claro cómo hacerlo.
Se agradece cualquier opinión.
Editar En los comentarios, se sugirió considerar $f(x,y) = 2xy/(x^2+y^2)$ como se explora en Continuidad de $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ en $(0,0)$ . Se trata de un cociente de funciones continuas y, por tanto, es continuo en todas partes excepto en $(0,0)$ donde no está definido. Dejando $y=ax$ para $a \neq 0$ obtenemos $f(x,ax) = 2a/(1+a^2)$ . Podemos acercarnos al origen desde distintas direcciones fijando $a$ a diferentes valores, y nos acercaremos a diferentes valores para $f$ en $(0,0)$ haciendo esto. Darse cuenta de que esto es posible es un progreso. Sin embargo, esta función concreta no está definida en todos los puntos de $\mathbb{R}^2$ . ¿Sigue siendo posible este tipo de discontinuidad de salto para funciones definidas en cada punto, por lo que realmente tienen $\mathbb{R}^n$ como su dominio para $n > 1$ ?
Edición 2 Se ha demostrado en las respuestas a esta pregunta que las funciones que presentan esta discontinuidad de salto existen al menos en el caso en que $f$ es ilimitado o límites de secuencias de $f(x_i)$ como $x_i$ se acerca a $x_0$ no tienen garantizada su existencia. Estos ejemplos explotan comportamientos imposibles de conseguir con un trozo de papel, por lo que todavía estoy tratando de precisar la intuición física de ese ejemplo. ¿Pueden seguir existiendo estas discontinuidades de salto si $f$ debe estar acotado, y los límites descritos anteriormente como una aproximación $x_0$ ¿Existen?
Edición 3 Como se señala en los comentarios, la función descrita en Continuidad de $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ en $(0,0)$ está efectivamente definida en todas partes, ya que se utiliza una definición a trozos para proporcionar un valor en el origen. (Sin embargo, sigue siendo cierto que $f(x,y) = 2xy/(x^2+y^2)$ no está definido en todas partes). Sin embargo, sigue siendo ilimitado [nota: esto es incorrecto, como se señaló en los comentarios - ver Edición 4].
Edición 4 Se ha señalado en los comentarios que $f(x,y) = 2xy/(x^2+y^2)$ (y decir $f(0,0)=(0,0)$ ) está realmente acotada. Por lo tanto, esto proporciona un ejemplo de una función que exhibe el comportamiento de discontinuidad de salto (¡cumpliendo todos los criterios de regularidad que quería!).
