En $\mathbb{P}(X_1 > a) \leq \delta$ implica $\mathbb{P}\left (\frac{1}{J} \sum_{i=1}^J X_i > a \right ) \leq \delta$ ?

Question

Sea $X_1, X_2, ..., X_J$ sean variables aleatorias idénticamente distribuidas.

Editar: puede suponer la independencia así como la expectativa finita del $X_i$ de arriba.

En $\mathbb{P}(X_1 > a) \leq \delta$ implica $\mathbb{P}\left (\frac{1}{J} \sum_{i=1}^J X_i > a \right ) \leq \delta$ ?

Answer 1

1: No, no es cierto. Deja que $Y$ se distribuya uniformemente en $\{1, 2, \dots, J\}$ y que $X_i = c \cdot 1_{\{Y = i\}}$ para algunos $c$ . Entonces $P(X_1 > 0) = 1/J$ y $\frac{1}{J} \sum_{i=1}^J X_i = c/J$ a.s., por lo que la afirmación es falsa si $0 < a < c/J$ y $1/J < \delta < 1$ .