¿Cómo demuestro esta afirmación sobre los espacios de cobertura triviales?

Question

Tengo el siguiente problema sobre espacios de cobertura, pero antes de nada escribo nuestras definiciones:

Definición de isomorfismo de cubiertas Un isomorfismo entre mapas de cobertura $p:Y\rightarrow X$ y $p':Y'\rightarrow X'$ es un homeomorfismo $\phi:Y\rightarrow Y'$ tal que $p'\circ \phi=p$

Definición de recubrimiento trivial Decimos que una cobertura $p:Y\rightarrow X$ es trivial si $\forall x\in X$ podemos tomar $X\in \mathfrak{U}(x)$ s.t. $p^{-1}(X)=\dot\bigcup_\alpha N_\alpha$ donde

1. $N_\alpha$ están abiertas a todos $\alpha$
2. $N_\alpha\cap N_\beta =\emptyset$ para todos $\alpha \neq \beta$
3. $p|_{N_\alpha}:N_\alpha \rightarrow X$ un homeomorfismo

Ahora tengo la siguiente declaración:

Una cobertura $p:Y\rightarrow X$ es trivial si es isomorfo a un recubrimiento de la forma $$p':X\times Z\rightarrow X;\,\,(x,z)\mapsto x$$ Dónde $Z$ es cualquier conjunto con la topología discreta.

Quería probar esta afirmación, pero de alguna manera me cuesta un poco.

Mi idea era la siguiente. Considere $$\phi:Y\rightarrow X\times Z;\,\,\,y\mapsto (p(y),z)$$ Entonces claramente $p'\circ\phi(y)=p'(p(y),z)=p(y)$ para todos $y\in Y$ pero ahora observo que para $\phi$ para ser homeomórfico necesita ser homeomórfico en cada componente. De momento sólo se cumple en la primera componente ya que en la segunda no es continua. Creo que si puedo encontrar otro segundo componente estoy hecho ¿verdad?

¿Podría alguien ayudarme a encontrar este segundo componente?

Gracias

Answer 1

De hecho, la idea es relativamente fácil $Y=p^{-1}(X)=\cup_{\alpha\in I}U_\alpha$ y hay que demostrar que existe un isomorfismo de cobertura entre $X\times I$ y $Y$ donde existe la topología discreta sobre $I$ .

El mapa $f: Y\to X\times I$ es, por supuesto, la siguiente

$f(y)=(p(y),\alpha)$ si $y\in U_\alpha$

$f$ está bien definida debido a la definición de cobertura trivial.

Además $f$ es continua si y sólo si $j_1\circ f: Y\to X$ y $j_2\circ f: Y\to I$ son mapas continuos, donde $j_i$ son las proyecciones naturales del producto $X\times I$ .

Puede observar que $p=j_1\circ f$ para que $j_1\circ f$ es continua.

Para demostrar que $j_2\circ f$ es continua hay que demostrar que la imagen inversa de un punto $\alpha \in I$ es un conjunto abierto de $Y$ . Por definición tiene que

$(j_2\circ f)^{-1}(\alpha)=U_\alpha$ para que $j_2\circ f$ tiene que ser continua.

Así $f$ es un mapa continuo.

Ahora podemos definir el mapa inverso

$g: X\times I\to Y$ enviando $(x, \alpha)$ a $y$ tal que $y\in U_\alpha\cap p^{-1}(x)$ . Este mapa está bien definido por la definición de cobertura trivial.

Si $U$ es un conjunto abierto de $Y$ entonces

$g^{-1}(U)=\sqcup_\alpha g^{-1}(U_\alpha\cap U)=\sqcup_\alpha p(U)\times \{\alpha\}$

que es un conjunto abierto porque $p$ es un mapa abierto, por lo que $p(U)$ es un conjunto abierto de $X$ y $I$ tiene la topología discreta.

Ahora usted tiene que $g$ es un mapa continuo y es el mapa inverso de $f$ Así pues $f$ es un homeomorfismo.

Ahora puede definir $p’: X\times I\to X$ como el mapa de proyección sobre el primer factor. Por supuesto, este mapa es un mapa de cobertura y se puede comprobar con las manos que

$p=p’\circ f$

Tenga en cuenta que $I$ tiene un significado importante. De hecho corresponde a la imagen inversa de un cierto punto $x \in X$

$I\cong p^{-1}(x)$ para cada $x \in X$

Cuando la topología en $p^{-1}(x)$ es la topología inducida de $Y$ . Por favor, demuestre que esta topología es exactamente la topología discreta en $p^{-1}(x)$ por definición de cobertura trivial.

Esto significa que una cobertura trivial es en general una unión disjunta de $p^{-1}(x)$ - copias de $X$ .