Secuencias multiplicadoras

Question

Tengo esta pequeña pregunta $ ln(Un+1)=ln(Un)-1$
$ U0=1$
Buscar P
Donde P es $ P=U0*U1*U2*…Un $ He encontrado esta fórmula $ \frac{1}{e^{n!-1}} $
Gracias

Answer 1

Suponiendo que se refiera a $\ln U_{n+1} = \ln U_n -1$ tenemos:

\begin{align} \ln U_{1} &= \ln U_0 -1 \\ \ln U_{2} &= \ln U_1 -1 \\ &\cdots \\ \ln U_{n-1} &= \ln U_{n-2} -1 \\ \ln U_{n} &= \ln U_{n-1} -1\\ \end{align}

Suma todas las ecuaciones. Casi todo se cancela y nos queda $\ln U_n=\ln U_0 - n= -n$ .

Por lo tanto, $U_n=e^{-n}$ y $P=e^p$ donde $p=-(0+1+\cdots +n)=-\frac{n(n+1)}{2}$ .