¿Qué es un "momento de desaparición"?

Question

En este documento dice Sweldens sobre las propiedades deseables de las ondículas:

Para analizar y representar este tipo de señales necesitamos wavelets que sean locales en el espacio y la frecuencia. Normalmente, esto se consigue construyendo wavelets que tengan un soporte compacto (localización en el espacio), que sean suaves (decaimiento hacia frecuencias altas) y que tengan _momentos de desaparición_ (decaimiento hacia frecuencias bajas).

Entiendo que soporte compacto significa que la función es distinta de cero en una porción limitada de su dominio. "Suavidad" creo que significa que no hay esquinas en la función base, es decir, que no harían falta frecuencias infinitamente altas para representar la curva (utilizando el análisis de Fourier).

Sin embargo, intuitivamente no sé qué significa un "momento de fuga". ¿Por qué llamaría a un "decaimiento hacia frecuencias bajas" un momento de fuga ?

Answer 1

La idea básica es que una ondícula tiene $p$ momentos de fuga si y sólo si la función de escala de la ondícula puede generar polinomios hasta el grado $p-1$ . La parte "evanescente" significa que los coeficientes wavelet son cero para polinomios de grado como máximo $p-1$ es decir, la función de escala por sí sola puede utilizarse para representar dichas funciones. Más momentos de fuga significa que la función de escala puede representar funciones más complejas. A grandes rasgos, se puede pensar en ella como

$$\textrm{more vanishing moments } \rightarrow \textrm{ complex functions can be represented with a sparser set of wavelet coefficients.}$$

Lo de "momentos" viene de que todo esto equivale a decir que el primer $p$ derivadas de la transformada de Fourier del filtro wavelet son todas cero cuando se evalúan en 0. Esto es perfectamente análogo a la idea probabilística de una "función generadora de momento" de una variable aleatoria, que es básicamente la transformada de Fourier, y la $n$ -evaluada en cero da la $n$ -Así pues, estas derivadas-ceros de la transformada de Fourier corresponden a integrales en el dominio del tiempo/espacio que deben ser cero para la ondícula. En cierto sentido, estas condiciones significan que la ondícula es "insesgada". No sesga la función que está siendo transformada porque la wavelet en sí misma no tiene ningún efecto esperado sobre una función hasta que esa función tiene una derivada no trivial. $p+1$ orden derivada.

Añadido: Apartado 5.2.1 en este enlace muestra las integrales a las que me refiero y, creo, hace un buen trabajo ilustrando por qué podrías referirte a esto como una propiedad del tipo "decaimiento hacia el infinito".

Answer 2

El n-ésimo momento de una función es igual a la n-ésima derivada de su transformada de Fourier a frecuencia cero. Por tanto, cuanto mayor sea el número de momentos cero, mayor será el número de derivadas cero y más suave será la caída de la señal desde la frecuencia media hasta la continua en el dominio de la frecuencia.