Nivel de rigor en la física matemática

Question

Soy estudiante de física/matemáticas y recientemente me he familiarizado con algunos formalismos más rigurosos de la mecánica, como la mecánica lagrangiana y el teorema de Noether. Sin embargo, me he dado cuenta de que los escritos sobre física matemática (a un nivel que puedo entender) que he podido encontrar no son ni de lejos tan rigurosos como los escritos de matemáticas. A menudo se basa en razonamientos heurísticos o en suposiciones. Entiendo que así es como se suele hacer la física (al menos así se enseña en mi uni), pero me preguntaba si la física/matemática más avanzada es tan rigurosa como las matemáticas puras. ¿O es esta falta de rigor algo que tendré que aceptar a medida que avance en la física?

Hacer suposiciones en la física no me molesta, pero siento que a veces veo argumentos en la mecánica que son muy manoseados. Creo que lo entendería mejor si el autor expusiera explícitamente los supuestos necesarios: entonces el argumento podría adoptar la forma de una prueba en lugar de un razonamiento heurístico.

Agradezco cualquier información sobre el tema. Gracias por cualquier ayuda y perdón si esta pregunta es demasiado vaga.

Answer 1

Varía. Mucho. La inmensa mayoría de la física que se encuentra en la licenciatura pertenece a la categoría de "cosas que pueden formularse en teoremas y demostrarse rigurosamente". Hay notables excepciones. Por ejemplo, los supuestos fundacionales de la física estadística (en torno a la mezcla y la teoría ergódica) se utilizan de forma bastante injustificada.

Las cosas pueden ser mucho más inestables cerca de la vanguardia de la investigación física. En particular, las teorías de campos cuánticos, las teorías de cuerdas y otras similares se tratan con más confianza de lo que permiten sus fundamentos. Sin embargo, ciertos resultados sobre ellas son demostrado rigurosamente, con y sin supuestos de que todo se comporta adecuadamente. Si eres una persona rigurosa y meticulosa, hay muchas áreas de investigación que son muy minuciosas.

Hay una diferencia entre lo anterior y cosas como "suponer que la solución de esta ecuación es continuamente diferenciable" en mecánica, o (en algunos casos) "suponer que esta EDP tiene una solución diferenciable" tal vez (con pruebas estándar pero tediosas, o pruebas difíciles y fuera de tema) donde simplemente sería un curso completamente diferente discutir los fundamentos. (Aunque esto también sería el caso de lo anterior de todos modos.) Estoy de acuerdo en que proporcionar referencias o citar teoremas estaría bien aquí. No se hace a menudo porque se considera innecesario o aburrido o fuera de tema...

La cuestión es que las respuestas a las cuestiones anteriores no se conocen pero al mismo tiempo es casi seguro que no sean cuestiones urgentes porque hacer estas suposiciones manuales da buena física. Por supuesto, hay muchos casos y excepciones, por lo que uno de los principales tipos de investigación en física consiste en encontrar excepciones a las normas . Incluso cuando se demuestran (al menos hasta cierto punto) resultados rigurosos, puede que no sea inmediatamente obvio cuáles son las lagunas (me vienen a la mente las teorías supersimétricas, relacionadas con Coleman-Mandula).

En última instancia, creo que los profesores deben dejar clara la distinción entre conocido pero fuera de tema y desconocido pero físicamente plausible pero prepárate para encontrar una comunidad que tiene que hacer suposiciones porque se basa en la experimentación y no en los axiomas . Sería una locura negarse a escuchar a nadie en la física de partículas del siglo pasado simplemente porque la QFT axiomática es difícil.

Answer 2

Desgraciadamente, el espacio entre las palabras en el constructo "física matemática" es justo la mitad de lo que se estira en "arte matemático". Ambas cosas existen, pero lo que un matemático profesional crearía como "arte matemático" y lo que haría un pintor profesional difieren enormemente y hay todos los matices entre ellos. Tanto el nivel de rigor (lo que has notado) como la relevancia del modelo para el mundo material (lo que no has mencionado) en los libros de física matemática pueden ser cualquier cosa desde $0$ a $1$ completamente independientes entre sí y muchos autores nunca te dicen el punto exacto en $[0,1]^2$ que se encuentran. "Las conferencias de Feynman", digamos, están en su mayoría en $(1,1)$ a pesar de que es un libro de física pura. Me abstendré de sacar a relucir un $(0,0)$ ejemplo, pero debe saber que también existe.

No necesitas aceptar nada contra lo que tu mente se rebela. Siempre puedes cambiar de libro de texto (o incluso de campo de estudio). Un libro (o un profesor) que persiga el rigor no siempre presentará una derivación rigurosa de algo, pero siempre mencionará una referencia a dicha derivación, o hará una declaración clara de que en la etapa actual es imposible dar un sentido perfecto a esto matemáticamente, ya sea en absoluto, o sin algunos saltos de fe particulares, con el pleno entendimiento de que esos saltos de fe parecen ser correctos en lo que respecta a toda nuestra experiencia, pero si surge un contraejemplo en algún rango, invalidará el modelo y puede invalidar las conclusiones en ese rango también. Ese es todo el rigor que se puede esperar ahí.

Por último, cabe mencionar que las matemáticas puras de alto nivel no están tan "orientadas al rigor" como se podría pensar. Es cierto que no se puede reclamar un resultado hasta que se tenga una prueba fehaciente, pero cuando los matemáticos discuten cómo se podría abordar un problema, la imaginación, las asociaciones y la intuición juegan un papel enorme. Si me permiten una sencilla metáfora, la frontera de las matemáticas no es un conjunto de teoremas grabados en piedra, sino una nube de ideas (muchas de las cuales están a medio cocinar). Es la capacidad de montar esta nube, lo que te convierte en un matemático de primera, no sólo la habilidad de tallar y albañilería. Desgraciadamente, nadie sabe cómo llevar a otra persona a este paseo por la nube sin que se caiga o se pierda en la niebla en un minuto, pero sí se sabe cómo tallar las formas de la nube en piedra y enseñar a la gente a subir a estas formas y a construirlas por sí misma. Por eso hacemos que los alumnos aprendan pruebas y resuelvan problemas prestando atención a cada detalle. La esperanza es que con el tiempo descubran cómo volar. Pero hasta que no sean capaces, al menos, de subir a la cima de una simple pirámide de ladrillos de mediana altura, no hay posibilidad de que puedan permanecer mucho tiempo en los desvanes de cualquier tipo de nave más avanzada. Ni que decir tiene que ningún pedagogo mencionará eso...

Answer 3

A mi modo de ver, los físicos recurren a la "prueba a mano" o "prueba por intuición" porque es precisamente esa intuición la que les llevó originalmente a utilizar ese modelo matemático para describir el fenómeno físico en cuestión. Los físicos no suelen preocuparse de qué supuestos técnicos son necesarios porque sólo les interesan los casos que surgen en la aplicación, y no los escenarios patológicos. Como ejemplo burdo, Newton utilizó el cálculo para describir la mecánica básica sin pensar en si las funciones relevantes eran diferenciables en todas partes, o si las integrales convergían absolutamente, etc.

El hecho de que podamos, a posteriori, demostrar rigurosamente muchas de las afirmaciones que los físicos simplemente intuyen es, en muchos sentidos, una afirmación del increíble poder de las matemáticas.

Si estás interesado en aprender mecánica desde un punto de vista matemático, te sugiero Métodos matemáticos de la mecánica clásica por Vladimir Arnold.

Answer 4

También fui criado por físicos. Muchas discusiones matemáticas en los cursos de mi especialidad (física) me dejaron insatisfecho. En particular, el tratamiento del cálculo vectorial y del cálculo variacional me parecía místico. Desde entonces, he visto lo que se ocultaba entonces y entiendo por qué mis profesores y textos no me mostraron los aspectos más profundos de esas matemáticas. Otro tema que me viene a la mente es el de las cargas puntuales en el electromagnetismo, la plétora de dirac delta funciones y fórmulas como $\frac{d}{dx}\theta(x) = \delta (x)$ contrasta con mi curso de análisis real. Por un lado, en electromagnética nos tomaban el pelo por no saber que la derivada de una función discontinua era una distribución llamada función. Por otro lado, perdí puntos en mi curso de matemáticas por no decir $c \in \mathbb{R}$ en el punto de la prueba donde importa. La disimilitud de las disciplinas se manifestó en esos semestres de mi licenciatura. Lo que veo ahora es lo siguiente: si los cursos de física realmente hicieran las matemáticas, entonces nunca llegarían tan lejos en la física. Tienen una forma de hacer matemáticas con notación que es irracionalmente exitosa en la mayoría de los casos. Entonces, ¿por qué deberían enseñar en sus cursos unas matemáticas que distraen del contenido físico del curso? Supongo que el razonamiento subyacente es algo así, pero admitiré que es una opinión popular que los profesores simplemente no saben de matemáticas, por lo que no pueden enseñarlas con rigor. ¿Arrogancia de la juventud o verdad? Supongo que depende de tu escuela.

Bien, para resumir, los temas básicos estándar de la física se pueden hacer rigurosos con el estudio del cálculo avanzado, el cálculo variacional, tal vez un curso que cubra la teoría de las distribuciones. Y, un buen curso de EDP. Mucho de lo que se dice a mano podría arreglarse con matemáticas conocidas. Encontrarás estas cosas a medida que vayas avanzando porque te interesa.

El otro caso es el borde de las cosas. Creo que las respuestas de Sharkos y Fedja son fantásticas, piensa realmente en lo que dicen. Hay aspectos de la física que se quedarán en el tintero porque en la base todas las ecuaciones que enmarcan la física no describen totalmente la física. Es un arte, hay una intuición común que va más allá de la descripción matemática (en mi opinión, esto obviamente no es algo que podamos demostrar). Esto es especialmente evidente en la mecánica clásica, donde te encuentras con algunas de estas criaturas con una intuición más profunda que la tuya. Pero, no es sólo la mecánica. Hay una diferencia entre los estudiantes de física y un físico. Para el físico de verdad, es algo que está conectado en cierto sentido. He conocido a algunos, no soy uno. La razón por la que en parte no decimos todos esos parámetros que aclaran el problema es que nuestro pensamiento en física es un poco difuso. La intuición física nos mantiene en el punto, así que la falta de claridad matemática no es tan peligrosa como podría parecer.

Para responder a tu pregunta, no creo que se dé el caso de que la física de posgrado sea más rigurosa desde el punto de vista matemático. En algunos puntos, tal vez. En otros puntos, la herejía matemática es más profunda.

Answer 5

La mecánica clásica iniciada por Newton era muy poco rigurosa en el momento de su nacimiento. Después de trescientos años se parece a las matemáticas, debido a los servicios prestados por cientos de matemáticos en ese tiempo. La electrodinámica, tal y como la desarrollaron Maxwell y otros, estaba llena de matemáticas feas (como la función delta de Dirac) en su fase inicial, pero después de cien años, con la llegada del "cálculo de formas diferenciales en variedades suaves", la situación está mejorando. Después de otros cien años, se puede esperar una Electrodinámica mucho mejor que la actual. Así es como la física y las matemáticas van de la mano.