¿Cuál es el valor de $\lim _{x\to 0}\left\lfloor\frac{\tan x \sin x}{x^2}\right\rfloor$

Question

¿Cómo evalúo el límite

$$\lim _{x\to 0}\left\lfloor\frac{\tan x \sin x}{x^2}\right\rfloor$$ donde $\lfloor\cdot\rfloor$ denota la mayor función entera. Sé que $x>\sin x$ y $x < \tan x$ pero ¿cómo puedo utilizar estos resultados aquí? $\tan x \over x$ tiende a $1+$ mientras que $\sin x \over x$ tiende a $1-$

Answer 1

Utilizando las expansiones de Taylor-Young: sabemos que $$\tan(x)=x+\frac{x^3}3+o(x^4),\qquad\sin(x)=x-\frac{x^3}6+o(x^4),$$ de ahí $$\tan(x)\sin(x)=x^2+\frac{x^4}6+o(x^5),$$ y por lo tanto $$\frac{\tan(x)\sin(x)}{x^2}=1+\frac{x^2}6+o(x^3).$$ De aquí concluimos que existe una vecindad puntuada $V$ de $0$ tal que $$\forall x\in V,\ \frac{\tan(x)\sin(x)}{x^2}>1.$$ Desde $$\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)\sin(x)}{x^2}=1$$ podemos suponer que $V$ se ha elegido de forma que $$\forall x\in V,\ 1<\frac{\tan(x)\sin(x)}{x^2}<2.$$ Por lo tanto $$\forall x\in V,\ \left\lfloor\frac{\tan(x)\sin(x)}{x^2}\right\rfloor=1,$$ de lo que se concluye que $$\lim_{x\to0}\left\lfloor\frac{\tan(x)\sin(x)}{x^2}\right\rfloor=1.$$