Si $\exists$ $x,y \in \mathbb Z$ tal que $ax+by=c$ entonces $(a,b)|c$ o incluso más fuerte lo hace $(a,b)=c$ ?

Question

Creo que la primera afirmación es cierta y la segunda falsa. Si es así, quiero intentar demostrar la primera afirmación y encontrar un contraejemplo (o prueba) para la segunda.

1. Si $\exists$ $x,y \in \mathbb Z$ tal que $ax+by=c$ entonces $(a,b)|c$ .

2. Si $\exists$ $x,y \in \mathbb Z$ tal que $ax+by=c$ entonces $(a,b)=c$ .

¿Es correcta mi intuición de que 1. es cierto y 2. es falso?

Answer 1

Recordemos que $(a,b)$ es el menos positivo entero que puede escribirse de la forma $ax+by$ . Tenga en cuenta que $(a,b)\mid a,b\implies (a,b)\mid ax+by$ . En particular, todo divisor común de $a$ y $b$ divide cualquier combinación lineal $ax+by$ .

Answer 2

Su intuición es correcta.

Recordemos que $gcd(a,b)$ divide ambos $a$ y $b$ por lo que divide $ax+by$ . Pero 2 es incorrecto; he aquí un contraejemplo: Sea $a=5, b=1, x=1, y=1.$ Entonces $d=6 \neq gcd(a,b)$ .

Dato curioso: Esto está relacionado con el lema de Bezout.