Pregunta (básica) sobre topología y colecciones de subconjuntos

Question

Estoy intentando comprender algo muy básico sobre topología.

Si $X = \{a,b,c\},$ entonces estas son algunas topologías sobre $X$ :

La topología que contiene $X, \emptyset, \{a\}, \{a,b\}$ ; la topología que contiene $X, \emptyset, \{a,b\}$ y el que contiene $X, \emptyset, \{b\}.$

Pero ¿por qué la siguiente colección de subconjuntos no es también topologías sobre $X$ :

$X, \emptyset, \{a\}, \{b\}$ y $X, \emptyset, \{a,b\}, \{b,c\}$ ?

Mirando esos dos últimos ejemplos, ¿no es así que tanto el conjunto vacío como el espacio $X$ están incluidos en la colección, que la unión de conjuntos está en la colección así como la intersección? ¿No debería ser entonces una topología?

Answer 1

La topología $\big\{X, \varnothing, \{a\}, \{b\}\big\}$ no es cerrado bajo uniones ya que $\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\}$ no está en la topología. La otra topología no es cerrada bajo intersecciones (finitas, aunque no importa en este caso).