Sea $X$ sea una curva integral normal propia sobre un campo (perfecto) $F$ de género $\geq 2$ . Una variante de la "conjetura de la sección" de Grothendieck afirma que las secciones $G_F \rightarrow \pi_1(X)$ de la secuencia exacta \begin{equation} 1 \rightarrow \pi_1(X_{\bar{F}}) \rightarrow \pi_1(X) \rightarrow G_F \rightarrow 1 \end{equation} están, hasta la conjugación, en biyección con la $F$ -puntos racionales de $X$ donde $G_F$ es el grupo de Galois absoluto de $F$ y $\pi_1$ es el grupo algebraico fundamental.
Pregunta: ¿por qué se excluyen las curvas de género 1?
Entiendo por qué deben excluirse las curvas de género 0: si $F$ tiene característica cero, es un hecho general que el grupo fundamental "geométrico $\pi_1(X_{\bar{F}})$ no es más que la terminación profinita de la regular topológico grupo fundamental de $X$ visto como una curva sobre $\mathbb{C}$ . Para género 0, el grupo fundamental topológico es trivial, y por tanto la secuencia exacta anterior induce un isomorfismo $\pi_1(X) \rightarrow G_F$ . Por lo tanto, siempre hay al menos una sección aunque $X$ no tiene ningún punto racional.
Sin embargo, no conozco una buena razón para excluir aquí las curvas de género 1. Evidentemente, el argumento anterior no sirve, puesto que el grupo fundamental topológico ya no es trivial para el género 1. ¿Existen contraejemplos conocidos para curvas de género 1? ¿Qué es lo que falla?
Sé que la filosofía es que uno debería esperar un "comportamiento anabeliano" sólo cuando el grupo fundamental está "lejos de ser abeliano", lo que excluye el caso de género 1. Pero yo estaría más seguro de que el grupo fundamental es "lejos de ser abeliano". Pero estaría más satisfecho con una razón más concreta y menos filosófica.