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¿Por qué la Conjetura de la Sección excluye las curvas de género 1?

Sea $X$ sea una curva integral normal propia sobre un campo (perfecto) $F$ de género $\geq 2$ . Una variante de la "conjetura de la sección" de Grothendieck afirma que las secciones $G_F \rightarrow \pi_1(X)$ de la secuencia exacta \begin{equation} 1 \rightarrow \pi_1(X_{\bar{F}}) \rightarrow \pi_1(X) \rightarrow G_F \rightarrow 1 \end{equation} están, hasta la conjugación, en biyección con la $F$ -puntos racionales de $X$ donde $G_F$ es el grupo de Galois absoluto de $F$ y $\pi_1$ es el grupo algebraico fundamental.

Pregunta: ¿por qué se excluyen las curvas de género 1?

Entiendo por qué deben excluirse las curvas de género 0: si $F$ tiene característica cero, es un hecho general que el grupo fundamental "geométrico $\pi_1(X_{\bar{F}})$ no es más que la terminación profinita de la regular topológico grupo fundamental de $X$ visto como una curva sobre $\mathbb{C}$ . Para género 0, el grupo fundamental topológico es trivial, y por tanto la secuencia exacta anterior induce un isomorfismo $\pi_1(X) \rightarrow G_F$ . Por lo tanto, siempre hay al menos una sección aunque $X$ no tiene ningún punto racional.

Sin embargo, no conozco una buena razón para excluir aquí las curvas de género 1. Evidentemente, el argumento anterior no sirve, puesto que el grupo fundamental topológico ya no es trivial para el género 1. ¿Existen contraejemplos conocidos para curvas de género 1? ¿Qué es lo que falla?

Sé que la filosofía es que uno debería esperar un "comportamiento anabeliano" sólo cuando el grupo fundamental está "lejos de ser abeliano", lo que excluye el caso de género 1. Pero yo estaría más seguro de que el grupo fundamental es "lejos de ser abeliano". Pero estaría más satisfecho con una razón más concreta y menos filosófica.

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Otto Puntos 1246

Creo que Grothendieck ya había observado que el mapa de puntos racionales a secciones es inyectivo (para curvas de género al menos 2 sobre un campo numérico) y creo que su demostración funciona incluso para curvas de género $1$ por lo que lo que falla para curvas de género $1$ es la subjetividad.

Considere cualquier secuencia exacta de grupos $1 \to A \to G \to H \to 1$ con $A$ abeliano y supongamos que existe una sección $\sigma:H \to G$ . Un simple cálculo muestra que si $\sigma$ es una sección y $f: H \to A$ es un mapa cualquiera, entonces la función $\tau: H \to G$ dada por $\tau(h) = f(h)\sigma(h)$ es una sección (es decir, también un homomorfismo) si $f$ es un $1$ -ciclo. Si el cocyle no es un coboundary entonces $\sigma$ y $\tau$ no son conjugadas, así que lo que realmente nos importa es $H^1(H,A)$ .

Aplicamos ahora lo anterior en la situación de la pregunta, por lo que nos vemos abocados a considerar el grupo $C = H^1(Gal(\bar{F}/F), \pi_1(X_{\bar{F}}))$ . Desde $\pi_1(X_{\bar{F}})$ es un $\hat{\mathbb{Z}}$ también lo es $C$ . Supongamos ahora que la curva $X$ tiene infinitos puntos racionales, por lo que el grupo $C$ también es infinito (pero finitamente generado por el teorema de Mordell-Weil). Sin embargo, no existen infinitos finitamente generados. $\hat{\mathbb{Z}}$ módulos. De ello se deduce que el mapa de puntos racionales a secciones módulo conjugación no puede ser suryectivo.

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