¿Solubilidad del quíntico?

Question

Sobre los p-adics, todo grupo de Galois es soluble. ¿Implica esto que el quíntico (y los polinomios de orden superior) puede resolverse mediante radicales sobre $\mathbb{Q}_p$ ?

EDIT: El lugar original donde aprendí que los grupos galois p-ádicos eran resolubles fue en el texto de Milne Teoría Algebraica de Números (Capítulo 7, Cor 7.59).

Como se ha señalado en los comentarios, debo aclarar que pretendía hacer 2 preguntas. A saber, si la quíntica general puede resolverse mediante radicales en este contexto (todavía no) y si cualquiera dada puede serlo (que ahora creo que sí).

Answer 1

Aunque todas las extensiones de $\mathbb{Q}_p$ es solucionable, no creo que se pueda escribir una fórmula para la solución de un quíntico general en términos de radicales; si se pudiera, entonces el $S_5$ -extensión $\mathbb{Q}_p(r_1,...,r_5)/\mathbb{Q}_p(e_1,...,e_5)$ sería solucionable, donde el $e_i$ son los polinomios simétricos elementales en el $r_i$ .

Answer 2

Si quieres resolver la quíntica sobre el $p$ -ádicos, se plantean naturalmente dos casos : $p\neq5$ y $p=5$ .

Supongamos en primer lugar que $p\neq5$ y que $f\in\mathbf{Q}_p[T]$ sea un polinomio irreducible de grado $5$ . A continuación, la extensión $K$ obtenida uniendo una raíz $\alpha$ de $f$ a $\mathbf{Q}_p$ siempre está contenido en $F(\root5\of{F^\times})$ donde $F=\mathbf{Q}_p(\root5\of1)$ . Así que ves inmediatamente que $\alpha$ pueden expresarse mediante radicales.

De hecho, $f$ puede considerarse siempre de la forma $f=T^5-x$ en el caso genérico cuando $K$ está (totalmente) ramificado sobre $\mathbf{Q}_p$ así que si quieres puedo afirmar que he resuelto la quíntica por radicales diciendo simplemente que $\alpha=\root5\of x$ .

Ahora dejemos que $f\in\mathbf{Q}_5[T]$ sea un polinomio irreducible de grado $5$ . A continuación, la extensión $K$ obtenida uniendo una raíz $\alpha$ de $f$ a $\mathbf{Q}_5$ siempre está contenido en $F(\root5\of{F^\times})$ donde $F=\mathbf{Q}_5(\root4\of{\mathbf{Q}_5^\times})$ . Aquí también se ve que $\alpha$ pueden expresarse mediante radicales.

No hay nada especial en el primer $5$ o el campo base $\mathbf{Q}_p$ . Puede sustituir $5$ por cualquier primo $l$ y $\mathbf{Q}_p$ por cualquier extensión finita de la misma, y obtendrá resultados similares dependiendo de si $l\neq p$ o $l=p$ .

Incluso puede sustituir $\mathbf{Q}_p$ por una extensión finita de $\mathbf{F}_p((\pi))$ siempre que reemplaces el "radical" $\root p\of{x}$ (que denota una raíz del binomio $T^p-x$ ) por su característica $p$ primo $\wp^{-1}(x)$ (que denota una raíz del trinomio $T^p-T-x$ ).

Answer 3

Este hecho es válido para todos los ámbitos $K$ de característica 0: toda extensión algebraica finita de $K$ con grupo de Galois soluble está dentro de una extensión obtenida añadiendo radicales (es decir, soluciones de las ecuaciones $x^n=a$ ). El campo es separable, ya que su característica es 0. El teorema 90 de Hilbert (véase Google) es válido para cualquier campo de característica 0. Por lo tanto, si una extensión finita $K'$ de $K$ contiene raíces primitivas de 1 de grado $n$ entonces cualquier extensión $E$ de $K'$ con grupo de Galois cíclico de orden $n$ se obtiene sumando una raíz de la ecuación $x^n=a$ para algunos $a\in K'$ . Ahora puedes aplicar el teorema fundamental de la teoría de Galois.

Answer 4

Artículo de Dave Dummit "Solving Solvable Quintics" (Resolver quínticos resolubles) http://www.ams.org/journals/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079014-X/S0025-5718-1991-1079014-X.pdf construye un sextico a partir de los coeficientes del quíntico que tiene una raíz racional si y sólo si el quíntico tiene un Grupo de Galois soluble. Aunque esto se afirma sobre $\mathbb{Q}$ Creo que se aplica sobre cualquier campo de característica 0 o > 5.

Answer 5

Prueba con Lazard (Daniel), Resolución de quínticas por radicales , en El legado de Niels Henrik Abel , 207-225, Springer, Berlín, 2004.

MR2077574 (2005g:12002) dice : Que $F$ sea un campo de característica distinta de 2 y 5. Sea $f$ sea un polinomio irreducible univariante de grado 5 sobre $F$ . El polinomio $f$ se dice que es soluble por radicales si el grupo de Galois sobre $F$ del campo generado por todas las raíces de $f$ tiene solución. En el artículo el autor da una fórmula para resolver por radicales cualquier polinomio $f$ de grado 5 que es resoluble por radicales. La extensión de campo que generan los radicales que aparecen en el resultado es siempre mínima, tanto cuando se produce una sola raíz, como cuando se dan todas las raíces. Esta fórmula se ha implementado en Maple.

Revisado por Jerzy Urbanowicz.