Cálculo de una base de Jordan para una matriz A

Question

Intento calcular una base de Jordan para la matriz A. $$A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}$$ $$\chi(A)=(\lambda-2)^2 \to \lambda =2 , \alpha =2$$ $$V(2)=ker(A-2I)= span\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$ A mi entender para encontrar el otro vector base, se elige $v=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ y calcula $Bv \ne 0 , B=A-2I$ que dará el otro vector en la base Jordan de A. Sin embargo, en este caso obtengo la matriz cero, también he intentado calcular $ker(A-2I)^2$ pero $(A-2I)^2$ es también la matriz cero.

Se agradecería enormemente la ayuda.

Answer 1

Elija un vector $w$ que no está en $\ker(A-2I)$ , digamos $w = \pmatrix{0 \\ 1}$ y definir $v = (A-2I)w = \pmatrix{1 \\ 1}$ .

Entonces $v \in \ker(A-2I)$ así que $$Av = 2v, \quad Aw = (A-2I)w +2w = v + 2w$$ lo que significa que con respecto a la base $\{v,w\}$ el operador $A$ tiene matriz $$\pmatrix{2 & 1 \\ 0 & 2}.$$