Me han encargado calcular la primera derivada del k -enésimo polinomio de Legendre $$P^{'}_k(1)$$ Me dieron la pista para utilizar la regla del producto generalizado $$\frac{d^{n}}{ds^{n}}[F(s)G(s)]=\sum_{j=0}^n {n \choose j}F^{(n-j)}(s)G^{(j)}(s)$$ pero no sé exactamente cómo utilizarlo. Empecé utilizando la fórmula de Rodrigues $$P_k(s)=\frac{1}{2^{k}k!}(\frac{d}{ds})^{k}(s^2-1)^k$$ Entonces me di cuenta de que $$(s^2-1)=(s-1)(s+1)$$ lo que significa que $$P_k(s)=\frac{1}{2^{k}k!}(\frac{d}{ds})^{k}(s-1)^k(s+1)^k$$ No estoy seguro de a dónde ir a partir de aquí o si esto es incluso una ruta beneficiosa para tomar. Agradecería cualquier consejo o sugerencia para llegar al cálculo final.
Respuesta
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Phicar
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Pista: Toma $n=k+1,$ $G(s)=(s0-1)^k$ y $F(s)=(s+1)^k$ Por lo tanto, usted no quiere dejar ningún $(s-1)^j$ con $j>0,$ por lo que el único término que no desaparecerá en $1$ es cuando $j=k.$ Compruebe que $\frac{d^k}{ds^k}(s-1)^k=k!$ y utilizar su fórmula, y el hecho de que $\frac{d}{ds}(s+1)^k=k2^{k-1}.$
Deberías recibir $\frac{k(k+1)}{2}.$
