Extensión de coberturas en subconjuntos densos

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico con $D \subseteq X$ un subconjunto denso.

Si hay una cubierta para $D$ ¿en qué condiciones se puede garantizar que la cobertura cubra también? $X$ ?

Para un ejemplo sencillo, si se tiene que el diámetro de los elementos del recubrimiento está globalmente acotado abajo por un número positivo, es inmediato que dicho recubrimiento cubrirá todo el espacio.
Y si el diámetro no está necesariamente acotado por debajo, pero para toda secuencia de elementos de la cobertura con diámetro convergente a cero, todo punto límite en $X$ de la secuencia está contenido en un elemento concreto de la cobertura, entonces la cobertura también cubre $X$ .

Answer 1

Una cobertura $\mathcal C$ del conjunto $D$ cubre $X$ siempre que $\mathcal C$ tiene un número de Lebesgue en $X$ es decir, existe un número $\varepsilon>0$ tal que para cada punto $x\in D$ existe un elemento $C\in\mathcal C$ tal que $C$ cubre el balón $B_X(x,\varepsilon)=\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon\}$ .