Supongamos que $K$ es un subconjunto de $[0,1]$ con la siguiente propiedad: para casi $x,y \in K$ tenemos
$$\frac{x+y}{2} \not\in K.$$
(Aquí, "casi en $K$ "significa "en $K$ excepto un subconjunto contable").
Un conjunto así debe tener agujeros, y el conjunto tridiagonal de Cantor tiene esta propiedad. ¿Qué podemos decir de la dimensión de Hausdorff de $K$ ? ¿Es cierto que es menor que $\ln 2 / \ln 3$ ?
¿Podemos decir que la medida de Hausdorff $H^{\ln 2/ \ln 3}(K)$ ¿es finito?
En Construcción de subconjuntos unidimensionales de los reales que no contienen copias similares de patrones dados Tamás Keleti construye un conjunto compacto de dimensión Hausdorff $1$ que no contiene ninguna copia similar de un número contable dado de $3$ -conjuntos de elementos. En particular, existe un conjunto compacto de dimensión Hausdorff $1$ que no contiene ninguna progresión aritmética.
Su construcción no utiliza en absoluto el ejemplo de Behrend, y es intrínseca a los reales, ya que depende de un argumento multiescala, por lo que es sustancialmente diferente de la bonita solución de Adam Goucher.
Por otra parte, una fácil aplicación del teorema de la densidad de Lebesgue muestra que cualquier conjunto de medida de Lebesgue positiva contiene una progresión aritmética de longitud $3$ (y de cualquier longitud finita).
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