Suma de las series sinusoidales

Question

Tengo una serie sinusoidal dada por

$\sum^\infty_{n=0}{\frac{\sin(n\theta)}{2n-1}}$ ,

y me gustaría encontrar la suma suponiendo que $0 < \theta < \pi$ . Utilizando algunos mensajes similares en este sitio pude expresar la suma como

$\text{Im} \left( \sqrt{e^{i\theta}} \space \text{arctanh}(\sqrt{e^{i\theta}}) - 1\right)$ .

No conozco bien estas funciones aparte de sus definiciones, así que ¿cómo puedo simplificar aún más esta expresión?

Answer 1

Hiciste un buen trabajo mostrando que $$\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i n t}}{2 n-1}=e^{\frac{i t}{2}} \tanh ^{-1}\left(e^{\frac{i t}{2}}\right)-1$$ Haz lo mismo $$\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-i n t}}{2 n-1}=e^{-\frac{i t}{2}} \tanh ^{-1}\left(e^{-\frac{i t}{2}}\right)-1$$ Combínelos para obtener $$\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(n t)}{2 n-1}=\frac i 2 \left(e^{-\frac{i t}{2}} \tanh ^{-1}\left(e^{-\frac{i t}{2}}\right)-e^{\frac{i t}{2}} \tanh ^{-1}\left(e^{\frac{i t}{2}}\right) \right)$$ Ahora, usando la pista dada por la metamorfosis, $$\tanh ^{-1}\left(e^{-\frac{i t}{2}}\right)=\frac 12 \log\left( \coth \left(\frac{it}{4}\right)\right)=\frac{1}{2} \log \left(-i \cot \left(\frac{t}{4}\right)\right)$$ $$\tanh ^{-1}\left(e^{\frac{i t}{2}}\right)=\frac 12 \log\left( \coth \left(-\frac{it}{4}\right)\right)=\frac{1}{2} \log \left(i \cot \left(\frac{t}{4}\right)\right)$$ Tras un montón de simplificaciones, deberías obtener $$\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(n t)}{2 n-1}=\frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{t}{2}\right)+\frac{1}{2} \sin \left(\frac{t}{2}\right) \log \left(\cot \left(\frac{t}{4}\right)\right)$$