Si $I_{n} = \int_{0}^{1}x^n\cdot e^xdx,$ Entonces $\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{I_{k+1}}{k}\right) =$

Question

(1) Si $\displaystyle I_{n} = \int_{0}^{1}x^n\cdot e^xdx$ . Entonces $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{I_{k+1}}{k}\right) = $

$(2)$ Valor de $\displaystyle \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-x}\sin^{n}(x)dx}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\sin^{n}(x)dx} = \;, $ Dónde $n\in \mathbb{N}$

$\bf{My\; Try}::$ para $(1)$ uno:: Dado $\displaystyle I_{n} = \int_{0}^{1}x^n\cdot e^xdx$

$\displaystyle \Rightarrow I_{n} = \left[x^n\cdot e^x\right]_{0}^{1}-n\int_{0}^{1}x^{n-1}\cdot e^xdx = e-nI_{n-1}\Rightarrow I_{n} = e-nI_{n-1}$

$\Rightarrow I_{n}+n\cdot I_{n-1} = e$

Ahora no entiendo cómo puedo resolver después de que

Ayuda requerida.

Gracias

$(2)$ Sea $\displaystyle I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-x}\sin^{n}(x)dx$ y $\displaystyle J_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\sin^{n}(x)dx$

Ahora no entiendo cómo puedo resolver después de que

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Gracias

Answer 1

Porque $x \in (0,1)$ la suma

$$\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k} $$

converge como $n \to \infty$ . Así podemos reorganizar la integración y la suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{I_{k+1}}{k} = \int_0^1 dx \, x \,e^x \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} = -\int_0^1 dx \, x \,e^x \, \log{(1-x)} $$

La integral se evalúa fácilmente mediante integración por partes:

$$-\int_0^1 dx \, x \,e^x \, \log{(1-x)} = \left [(1-x) e^x \log{(1-x)} \right ]_0^1+ \int_0^1 dx \frac{1-x}{1-x} e^x$$

que es igual a $e-1$ . Por lo tanto, el límite es igual a $e-1$ .