Problema de valor límite $y''(x)= \kappa^2 \left(y(x) + \frac{y(x)^2}{2} \right)$

Question

Un problema físico me llevó al siguiente problema de valor límite

$y''(x)= \kappa^2 \left(y(x) + \frac{y(x)^2}{2} \right)$

con $y(0)=0$ y $y(C)=-58$ para algunos $C>0.$

Si no hubiera término cuadrático, tendríamos simplemente la ecuación de un oscilador armónico (hasta el signo incorrecto, debido a $\kappa^2>0$ que conduce a $\cosh$ en lugar de $\cos$ soluciones de tipo).

¿Sabe alguien si esta ecuación admite soluciones de forma cerrada? O de otro modo, si se sabe que esta ecuación sólo puede tratarse numérica o aproximadamente con métodos perturbativos, esto también respondería a mi pregunta.

Si algo no está claro, hágamelo saber.

Answer 1

Bien, el sistema es Hamiltoniano (nada sorprendente si se deriva de un problema físico) con Hamiltoniano $$H = \frac{1}{2}(y')^2 - \frac{1}{2}\kappa^2\left(y^2+\frac{y^3}{3}\right)$$ y puede reducirse a la cuadratura $$\frac{dx}{dy} = \pm\frac{1}{\kappa\sqrt{\left(y^2+\frac{y^3}{3}\right) + 2H}}$$ para constante $H$ . No sé si esto es solucionable en términos de funciones ordinarias, pero ¿realmente necesita saber la explícita $x$ - $y$ ¿relación? En los sistemas dinámicos, a menudo basta con conocer el carácter del sistema o su comportamiento a largo plazo. Como el sistema es hamiltoniano, el diagrama de fase es fácil de dibujar, se pueden encontrar los puntos estacionarios, etc., así que se puede saber mucho sobre él sin tener que resolver esa horrible integral. Depende de lo que sea útil.